似乎好久都沒寫博客了....趕快來補一篇

• 題意: 給你一個 \(n\) 個點 , 沒有重邊和自環的圖 .
  有 \(m\) 條邊 , 每條邊可以染 \(1 \to k\) 中的一種顏色 .
  對於任意一個簡單環 , 可以將它的邊的顏色進行旋轉任意位 .
  詢問本質不同的染色方案數個數 .

• 數據範圍:
  \(1\le n \le 50\\ 1 \le m \le 100\\1 \le k \le 100\\\)

• 題解:

將邊分為 3種類型:

1. 不屬於任何一個簡單環 , 它的貢獻為 \(k\) .

2. 屬於且僅屬於一個簡單環 , 設環長為 \(n\) . 它的貢獻就是
   \[\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} k^{\gcd(i, n)}\]

   
   這個就是類似於項鏈染色的方案數求解 , 原因見 此篇博客 .

3. 屬於多個環 . 能夠證明可以通過旋轉來交換任意兩條邊的顏色 .
   於是本質不同當且僅當有一種顏色數量不同 ,
   其貢獻就是利用隔板法 把 \(m\) 條邊 分成 \(k\) 組的方案數 (每組不一定要有邊)
   那麽我們就加入多的 \(k - 1\) 個隔板 , 然後貢獻就是
   \[{n + k - 1 \choose k - 1}\]

這個全都可以利用 \(Tarjan\) 求點雙聯通分量 (求割點的方法) 來判斷種類 , 並在其中計算 .
時間復雜度就是 \(O(n+m)\) 輕松通過此題.

• 代碼:

#include <bits/stdc++.h>
 

#define For(i, l, r) for(int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
using namespace std;

bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
bool chkmax(int
 
 &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}

inline int read() {
    int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar() ) if (ch == ‘-‘) fh = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar() ) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ ‘0‘);
    return x * fh;
}


void File() {
#ifdef zjp_shadow
    freopen ("F.in", "r", stdin);
    freopen ("F.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = 55, M = 205;

typedef long long ll;
const ll Mod = 1e9 + 7;

ll fpm(ll x, int power) {
    ll res = 1;
    for (; power; power >>= 1, (x *= x) %= Mod)
        if (power & 1) (res *= x) %= Mod;
    return res;
}

ll fac[M], ifac[M];

void Init(int maxn) {
    fac[0] = ifac[0] = 1ll;
    For (i, 1, maxn) fac[i] = fac[i - 1] * i % Mod;
    ifac[maxn] = fpm(fac[maxn], Mod - 2);
    Fordown (i, maxn - 1, 1) ifac[i] = ifac[i + 1] * (i + 1) % Mod;
}

ll C(int m, int n) {
    if (m > n || n < 0 || m < 0) return 0ll;
    return fac[n] * ifac[m] % Mod * ifac[n - m] % Mod;
}

set <int> Point;
int n, m, k; ll ans = 1ll;

ll Polya(int n) {
    ll res = 0;
    For (i, 1, n) (res += fpm(k, __gcd(n, i))) %= Mod;
    return res * fpm(n, Mod - 2) % Mod;
}

ll Permu(int m) { return C(k - 1, m + k - 1); }

vector<int> G[N];
int dfn[N], lowlink[N], sta[N], top;
void Tarjan(int u, int fa) {
    static int clk = 0;
    dfn[u] = lowlink[u] = (++ clk); sta[++ top] = u;

    for (int v : G[u]) if (!dfn[v]) {
        Tarjan(v, u), chkmin(lowlink[u], lowlink[v]);
        if (lowlink[v] >= dfn[u]) {
            Point.clear();
            int n = 0, m = 0, Last;
            do Point.insert(Last = sta[top --]), ++ n; while (Last != v);
            Point.insert(u), ++ n;
            for (int x : Point) for (int v : G[x])
                if ((bool)Point.count(v)) ++ m;
            m >>= 1;

            if (m < n) (ans *= k) %= Mod;
            if (m == n) (ans *= Polya(n)) %= Mod;
            if (m > n) (ans *= Permu(m)) %= Mod;
        }
    } else chkmin(lowlink[u], dfn[v]);
    if (!fa) -- top;
}

int main () {
    File();
    n = read(), m = read(); k = read();
    Init(m + k + 5);

    For (i, 1, m) {
        int u = read(), v = read();
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }

    For (i, 1, n) if (!dfn[i]) Tarjan(i, 0);
    printf ("%lld\n", ans);
    return 0;
}

ARC062 - F. Painting Graphs with AtCoDeer (Polya+點雙聯通分量)