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【BZOJ4591】【Shoi2015】超能粒子炮

com 組合 std 除法 const mes amp clas .com

Description

  
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Solution

  
?  記\(a=\lfloor\frac n p\rfloor\)\(b=n\%p\)。我們嘗試使用Lucas定理展開這些組合數,尋找公共部分。以下除法都作整數下取整除法:
\[ \begin{aligned} f(n,k)&=\sum_{i=0}^kC_n^i\mod p\&=\sum_{i=0}^{ap-1}C_{n/p}^{i/p}*C_{n\%p}^{i\%p}+\sum_{i=ap}^{n}C_{n/p}^{i/p}*C_{n\%p}^{i\%p}\&=(\sum_{i=0}^{a-1}C_{n/p}^i*\sum_{j=0}^{p-1}C_{n\%p}^j)+C_{n/p}^{a}*\sum_{i=0}^bC_{n\%p}^i\&=f(n/p,a-1)*f(n\%p,p-1)+C_{n/p}^{k/p}f(n\%p,k\%p) \end{aligned} \]


     
  
  所以只需要預處理\(f(0...p-1,0...p-1)\)的值就可以直接計算了。
  
  註意判斷k<0的情況,此時\(f\)為0。
  
  
  
  
  

Code

  

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD=2333,N=2351;
int c[N][N],f[N][N];
inline int plus(int x,int y){return (x+y)%MOD;}
inline int mul(int x,int y){return
1LL*x*y%MOD;} inline int C(ll n,ll m){ if(n<m) return 0; if(n<MOD&&m<MOD) return c[n][m]; return mul(C(n/MOD,m/MOD),C(n%MOD,m%MOD)); } int solve(ll n,ll k){ if(k<0) return 0; if(n<N&&k<N) return f[n][k]; return plus(mul(solve(n/MOD,k/MOD-1),f[n%MOD][MOD-1
]),mul(C(n/MOD,k/MOD),f[n%MOD][k%MOD])); } void init(){ c[0][0]=1; for(int i=1;i<N;i++){ c[i][0]=1; for(int j=1;j<N;j++) c[i][j]=plus(c[i-1][j],c[i-1][j-1]); } for(int i=0;i<N;i++){ f[i][0]=1; for(int j=1;j<N;j++) f[i][j]=plus(f[i][j-1],c[i][j]); } } int main(){ init(); ll T,n,k; scanf("%lld",&T); while(T--){ scanf("%lld%lld",&n,&k); printf("%lld\n",solve(n,k)); } return 0; }

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