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輸入\(n,k\)，求\(\sum_{i=0}^k{n\choose i}\)對2333取模，10萬組詢問，n,k<=1e18

註意到一個2333這個數字很小並且還是質數這一良好性質，我們可以根據Lucas定理優化式子

為了方便，令\(p=2333\)

設\(f(n,k)=\sum_{i=0}^k{n\choose i}\)

對於\(i\in[0,p\lfloor\frac kp\rfloor)\)，根據lucas定理有\({n\choose i}={n\%p\choose i\%p}{n/p\choose i/p}\)

對於每一對\((i\%p,i/p)\)都能惟一確定一個\(i\)，根據乘法原理有

\(f(n\%p,p-1)*f(\lfloor\frac np\rfloor,\lfloor\frac kp\rfloor-1)\)

對於\(i\in[p\lfloor\frac kp\rfloor,k]\)則它們/p的值相同，根據Lucas定理可以化為\({\lfloor\frac np\rfloor\choose\lfloor\frac kp\rfloor}*f(n\%p,k\%p)\)

所以\(f(n,k)=f(n\%p,p-1)*f(\lfloor\frac np\rfloor,\lfloor\frac kp\rfloor-1)+{\lfloor\frac np\rfloor\choose\lfloor\frac kp\rfloor}*f(n\%p,k\%p)\)

先預處理0~p-1階乘及其逆元，0~p-1裏的組合數可以O(1)

註意到在f的遞推式中頻繁用到了0~p-1內的f值，所以先O(p^2)處理這些f

那麽時間復雜度遞推式就是\(T(n,k)=T(\lfloor\frac np\rfloor,\lfloor\frac kp\rfloor)+\log p\)，如果nk同階，復雜度\(O(T\log n\log ^2p)\)好像是

一開始復雜度寫錯了，最後6個點狂T。。。

代碼

#include <cstdio>
using namespace std;

const int p = 2333;

int fac[3000], inv[3000];
int f[3000][3000];

int qpow(int x, int y)
{
    int res = 1;
    for (x %= p; y > 0; x = x * x % p, y >>= 1) if (y & 1) res = res * x % p;
    return res;
}

int c(long long n, long long m)
{
    if (n < m || m < 0) return 0;
    if (n < p && m < p) return fac[n] * inv[m] % p * inv[n - m] % p;
    return c(n / p, m / p) * c(n % p, m % p) % p;
}

int work(long long n, long long k)
{
    if (n < p && k < p) return f[n][k];
    return (c(n / p, k / p) * work(n % p, k % p) + work(n % p, p - 1) * work(n / p, k / p - 1)) % p;
}

int main()
{
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i < p; i++)
        fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
    inv[p - 1] = qpow(fac[p - 1], p - 2);
    for (int i = p - 1; i >= 1; i--)
        inv[i - 1] = inv[i] * i % p;
    for (int i = 0; i < p; i++)
    {
        f[i][0] = c(i, 0);
        for (int j = 1; j < p; j++)
            f[i][j] = (f[i][j - 1] + c(i, j)) % p;
    }
    int t; scanf("%d", &t);
    while (t --> 0)
    {
        long long x, y;
        scanf("%lld%lld", &x, &y);
        printf("%d\n", work(x, y));
    }
    return 0;
}
 

WA了好幾發，define int long long過了後來發現計算C時候三個數乘一起就炸int了。。。

luogu4345 [SHOI2015]超能粒子炮·改