【騷操作】快速冪
阿新 • • 發佈:2018-07-04
級別 爆炸 namespace 斐波那契數列 cnblogs 解決 會有 www. 位操作 *a2^1*a2^3,也就是a1*a2*a8
,看出來快的多了吧原來算11次,現在算三次,但是這三項貌似不好求的樣子....不急,下面會有詳細解釋。
由於是二進制,很自然地想到用位運算這個強大的工具:&和>>
&運算通常用於二進制取位操作,例如一個數 & 1 的結果就是取二進制的最末位。還可以判斷奇偶x&1==0為偶,x&1==1為奇。
>>運算比較單純,二進制去掉最後一位,不多說了,先放代碼再解釋。
原貼地址:
http://www.cnblogs.com/CXCXCXC/p/4641812.html
快速冪這個東西比較好理解,但實現起來到不老好辦,記了幾次老是忘,今天把它系統的總結一下防止忘記。
首先,快速冪的目的就是做到快速求冪,假設我們要求a^b,按照樸素算法就是把a連乘b次,這樣一來時間復雜度是O(b)也即是O(n)級別,快速冪能做到O(logn),快了好多好多。它的原理如下:
假設我們要求a^b,那麽其實b是可以拆成二進制的,該二進制數第i位的權為2^(i-1),例如當b==11時
a11=a(2^0+2^1+2^3) 11的二進制是1011,11 = 23×1 + 22×0 + 21×1 + 2o×1,因此,我們將a11轉化為算 a2^0intpoww(int a, int b) { int ans = 1, base = a; while (b != 0) { if (b & 1 != 0) ans *= base; base *= base; b >>= 1; } return ans; }
代碼很短,死記也可行,但最好還是理解一下吧,其實也很好理解,以b==11為例,b=>1011,二進制從右向左算,但乘出來的順序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3),是從左向右的。我們不斷的讓base*=base目的即是累乘,以便隨時對ans做出貢獻。
其中要理解base*=base這一步:因為 base*base==base2,下一步再乘,就是base2*base2==base4,然後同理 base4*base4=base8,由此可以做到base-->base2-->base4-->base8-->base16-->base32.......指數正是 2^i ,再看上面的例子,a11= a1*a2*a8,這三項就可以完美解決了,快速冪就是這樣。
順便啰嗦一句,由於指數函數是爆炸增長的函數,所以很有可能會爆掉int的範圍,根據題意選擇 long long還是mod某個數自己看著辦。
矩陣快速冪也是這個道理,下面放一個求斐波那契數列的矩陣快速冪模板
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> using namespace std; const int mod = 10000; const int maxn = 35; int N; struct Matrix { int mat[maxn][maxn]; int x, y; Matrix() { memset(mat, 0, sizeof(mat)); for (int i = 1; i <= maxn - 5; i++) mat[i][i] = 1; } }; inline void mat_mul(Matrix a, Matrix b, Matrix &c) { memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat)); c.x = a.x; c.y = b.y; for (int i = 1; i <= c.x; i++) { for (int j = 1; j <= c.y; j++) { for (int k = 1; k <= a.y; k++) { c.mat[i][j] += (a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % mod; c.mat[i][j] %= mod; } } } return ; } inline void mat_pow(Matrix &a, int z) { Matrix ans, base = a; ans.x = a.x; ans.y = a.y; while (z) { if (z & 1 == 1) mat_mul(ans, base, ans); mat_mul(base, base, base); z >>= 1; } a = ans; } int main() { while (cin >> N) { switch (N) { case -1: return 0; case 0: cout << "0" << endl; continue; case 1: cout << "1" << endl; continue; case 2: cout << "1" << endl; continue; } Matrix A, B; A.x = 2; A.y = 2; A.mat[1][1] = 1; A.mat[1][2] = 1; A.mat[2][1] = 1; A.mat[2][2] = 0; B.x = 2; B.y = 1; B.mat[1][1] = 1; B.mat[2][1] = 1; mat_pow(A, N - 1); mat_mul(A, B, B); cout << B.mat[1][1] << endl; } return 0; }
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