題目描述：

有n種不同的郵票，皮皮想收集所有種類的郵票。唯一的收集方法是到同學凡凡那裏購買，每次只能買一張，並且買到的郵票究竟是n種郵票中的哪一種是等概率的，概率均為1/n。但是由於凡凡也很喜歡郵票，所以皮皮購買第k張郵票需要支付k元錢。
現在皮皮手中沒有郵票，皮皮想知道自己得到所有種類的郵票需要花費的錢數目的期望。

N<=10000

題解：

k張k元不好做，先考慮每張都是1元怎麽做。

設f[i]表示，已經有了i種，買到n種的期望步數，也就是期望花費。

f[i]=(i/n)*(f[i]+1) + (n-i)/n*(f[i+1]+1) ; ( i<n)

f[n]=0;

就是說，i/n的概率買到之前買過的郵票，(n-i)/n的概率買到新的郵票。

期望=概率*結果。理解上就是，這樣的概率i/n,(n-i)/n，到達了這樣的結果。就可以推出來了。

因為這個f數組，可以表示期望的步數，非常有用。以下講解繼續沿用。

然後，對於k張k元的情況，有兩種做法：

（都要通過 期望=概率*事件的結果取值 來理解）

①（理解麻煩，過程簡單）

設g[i]表示，從有了i種有郵票到買到n種郵票要花的錢數。

f[i]還和上面的一樣。

所以，g[i]的轉移是：

g[i]=i/n*(g[i]+f[i]+1)+(n-i)/n*(g[i+1]+f[i+1]+1)

g[n]=0;

比較難以理解。

解釋：

i/n是買到自己原來買過的概率。

該種情況下，到達的結果是，還要有的g[i]花費，並且，之後期望還要買的f[i]次價格都上漲了1，總體加了f[i]，再加上這次的1花費。

為什麽可以認為，這一次是第一次買，花費是1呢？？

我們在狀態中，默認已經有了i張（從天上掉下來的，不花錢），所以，第一次買就是1元了。

或者，因為我們最後要求的是g[0]，

對於g[0]，第一次買花費1肯定是成立的。

所以，我們之後的所有花費，都默認第一次是1，之後計算還會加上的。

畫圖理解一下，g[i]的組成，黑色部分是的g[i],紅色一道是增加了總體的f[i], 綠色一個點是這次操作花費的1元。

而相鄰的g[i+1]->g[i]的更新時類似的。因為都加上了一個f[i+1]麽，所以g[i+1]的花費1也就變成了花費2了。

之後拆開括號，移項，然後直接求。

②（理解簡單，過程麻煩）

發現，假設買了k張郵票，花費就是：（k^2+k）/2 ----------------等差數列求和嘛

再確切一些，設s[i]表示，有了i種郵票，到n種郵票的步數（不是期望）

所以，f[i]=E(s[i])

所以花費的期望：E(cos)=E((s[0]^2+s[0])/2)

基於期望的線性性質，E(cos)=( E(s[0]^2)+E(s[0]) )/2

我們已經求出了f[0]=E(s[0])

所以，要求出E(s[0]^2) （註意，這個是平方的期望，不等於期望的平方！！）

設g[i]=E(s[i]^2)即從i到n步數平方的期望

因為，E((x+1）^2)=E(x^2)+2*E(x)+1

所以，g[i]=i/n*(E( (s[i]+1)^2 ) + (n-i)/n *(E( (s[i+1]+1)^2 )

拆開它:g[i]=i/n * ( g[i] + 2*f[i] + 1 ) + ( n - i ) * ( g[i+1] + 2* f[i+1] +1)

拆開括號，移項，然後直接求。

總結：

期望一定要小心謹慎分析，不要直覺瞎搞，設計好狀態，轉移。

分清楚 ： 事件，概率，結果，期望。

抓住E(x+y)=E(x)+E(y) 還有: E(x)=∑pi*xi

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