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拓展中國剩余定理解決模數不互質同余方程組

tex www. ++ sca ons using include thml 方程

如果模數互質的話,直接中國剩余定理就可以了

但是如果模數不互質又沒有接觸這個方法就涼涼了

推是很不好推出來的

假設我們這裏有兩個方程:

x=a1?x1+b1

x=a2?x2+b2

a1,a2是模數,b1,b2是余數

那麽我們可以合並這兩個方程:

a1?x1+b1=a2?x2+b2

由於x1x2可以取負無窮到正無窮,所以符號不能約束它們,我們隨便變一變形得到

a1?x1+a2?x2=b2?b1

然後使用拓展歐幾裏德算法,x和y分別是式子中的x1和x2

我們求出了一個最小正整數解x1

k=(a1?x1+b1)

xk(mod lcm(a1,a2))

一路合並下去就可以得到最終的解答了

典型例題是POJ2891,全網僅此一道??

POJ真是交上去立刻A

 1 #include<cstdio>
 2 using namespace std;
 3 const int maxn=100005;
 4 int n;
 5 long long a[maxn],m[maxn];
 6 long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
 7 {
 8     if(b==0) {x=1;y=0;return a;}
 9     long long ret=exgcd(b,a%b,x,y);
10     long long t=x;x=y;y=t-a/b*y;
11 return ret; 12 } 13 long long crt() 14 { 15 long long M=m[1],A=a[1]; 16 long long x,y; 17 for(int i=2;i<=n;i++) 18 { 19 long long d=exgcd(M,m[i],x,y); 20 if((a[i]-A)%d) return -1; //無解 21 //計算x的值 22 x*=(a[i]-A)/d; 23 long long t=m[i]/d; 24
x=(x%t+t)%t; 25 A=M*x+A; 26 M=M/d*m[i]; 27 A%=M; 28 } 29 A=(A%M+M)%M; 30 return A; 31 } 32 int main() 33 { 34 while(scanf("%d",&n)==1) 35 { 36 for(int i=1;i<=n;i++) 37 scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]); 38 printf("%lld\n",crt()); 39 } 40 return 0; 41 }

拓展中國剩余定理解決模數不互質同余方程組