中國剩余定理及其拓展
中國剩余定理及其拓展
中國剩余定理CRT引例：（選自孫子兵法）
今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？
怎麽考慮這個問題?
按照題意：
設答案為x，則有
x≡2（mod 3）
x≡3（mod 5）
x≡2（mod 7）
就是求x的最小值
不難發現線性同余方程組的定義就是形如：
x≡a1（mod m1）
x≡a2（mod m2）
x≡a3（mod m3）
………………………….
x≡ak（mod mk）
的方程
Sol：
先看看解法：我們再來想想為什麽是正確的。
l Step1：從5和7的公倍數中找出一個數n1使得n1≡1（mod 3）可知n1(min)=70
l Step2：從3和7的公倍數中找出一個數n2使得n2≡1（mod 5）可知n2(min)=21
l Step3：從3和5的公倍數中找出一個數n3使得n3≡1（mod 7）可知n3(min)=15
l Step4：令Ans‘=a1 * n1 + a2 * n2 + a3 * n3 = 2 * 70 + 3 * 21 + 15 * 2 = 233
l Step5：答案Ans(min)=Ans’%lcm(3,5,7)=233%105=23
正確性證明：
我們試圖說明這樣解法的正確性。
首先我們先證明幾個引理。
引理1：若有a≡c（mod b）則有a+kb≡c（mod b）k∈Z
轉化一下：若a % b = c那麽必有（a+k*b）% b = c
證明是及其簡單的：等式右邊 =（a+k*b）% b = a % b+（kb）% b = a%b=等式左邊
這句話翻譯為人話是這樣的：如果一個除法運算的余數為c，那麽被除數與k倍的除數相加（或相減）的和（差）再與除數相除，余數不變。
引理2：若a≡c（mod b）則有 (a*k) ≡ kc（mod b）k∈Z
轉化一下：a%b=c那麽( a*k ) % b=k*c 其中k∈Z
證明也是顯然的：( a*k ) % b = a%b +a%b +….+a%b=c+c+……+c=k*c k∈N*
我們現在來考慮孫子怎麽考慮這個問題。
我們設置：
l n1是滿足除以3余2的一個數，就是n1=3k+2 其中k∈N
l n2是滿足除以5余3的一個數，就是n1=5k+3 其中k∈N
l n3是滿足除以7余2的一個數，就是n1=7k+2 其中k∈N
（顯然此k非彼k）
由引理1可知：
如果n2是3的倍數那麽要使n1+n2 滿足 除以3余2那麽顯然n1需要是3的倍數。
按照這個道理現在n1+n2已經除以3余2要想n1+n2+n3除以 3 余2那麽n3必須是3的倍數
於是我們可以推出這樣三點：
- 要使n1+n2+n3 滿足 除以3余2，n2和n3必須是3的倍數
- 要使n1+n2+n3 滿足 除以5余3，n1和n3必須是5的倍數
- 要使n1+n2+n3 滿足 除以7余2，n2和n3必須是7的倍數
再次結合上面對於n1，n2，n3的定義
- n1是滿足除以3余2的一個數，就是n1=3k+2 其中k∈N
- n2是滿足除以5余3的一個數，就是n1=5k+3 其中k∈N
- n3是滿足除以7余2的一個數，就是n1=7k+2 其中k∈N
可知
- n1除以3余2，且是5和7的公倍數。
- n2除以5余3，且是3和7的公倍數。
- n3除以7余2，且是3和5的公倍數。
我們如果找出n1，n2，n3那麽這個問題就解決了。
我們設 n1=5*7*k=35k，
解同余方程35k≡2（mod 3）那就是求35k‘≡1（mod 3）的兩倍
顯然就是35關於3的逆元就可以求出k‘，
就可以求出k=2k‘，從而求出n1=5*7*2*k’
如此類推就可以知道n2和n3 的值
那麽就是n2=3*7*3*k‘， n3=3*5*2*k‘
然後求出Ans’=n1+n2+n3，（只是一個解而不是最小解）
然後我們要用到引理1了：若a % b = c那麽必有（a+k*b）% b = c
若k為負數，那麽我們不停的減去lcm(3,5,7)就可以得出最優解。
Ans= Ans’ % lcm(3,5,7)
總結
好了我們總結一下方法
解線性同余方程：
x≡a1（mod m1）
x≡a2（mod m2）
x≡a3（mod m3）
………………………….
x≡ak（mod mk）
其中滿足{x|x=mi,i=1,2,3…k} ⊆{Prime}
的方法：
上面是一個特例，由於我們要求逆元inv那麽必須所有的mi都要是質數，其中滿足{x|x=mi,i=1,2,3…k} ⊆{Prime}，多少有很大的不實用性，由於我們有擴展歐幾裏得算法
可以求出ax+by=gcd（a,b）的最小正整數解，這就要用到中國剩余定理擴展。
中國剩余定理擴展EXCRT —— 求解模數不互質情況下的線性方程組
其實比上面更加簡單。
我們考慮兩個同余方程：
x≡a1（mod m1）
x≡a2（mod m2）
必然可以表示成這樣的形式
x=a1+m1x1
x=a2+m2x2
聯立可知： a1 + m1x1 = x = a2 + m2x2
那麽這裏x1和x2是未知數，就是
m1x1-m2x2=a2-a1
可以解出來x1（最小），帶回到 x的一個特解x‘
這個x’顯然可以滿足
x≡a1（mod m1）
x≡a2（mod m2）
然後組成這樣的新的同余方程
x≡x‘（mod lcm（m1,m2））
然後就可以解出最終解出x
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