1. 線性組合

接下來我們要換一個角度來看向量。以二維平面直角座標系為例，i, j 分別是沿 2 個座標軸方向的單位向量。那麼座標平面上的其他向量，例如 [3−2] 與 i, j 是什麼關係呢？

將向量 i 沿水平向右的方向拉昇 3 倍，向量 j 沿豎直向下的方向拉昇 2 倍

這樣，我們可以將向量 [3−2] 看成是將向量 i, j 縮放後再相加的結果

向量 i, j 稱為基向量，其他向量都可以通過對基向量縮放再相加的方法構造出來。基向量縮放的倍數對應向量的各個分量，即向量對應的座標。

我們可以通過選擇不同的基向量來構造新的座標系。例如，我們可以選擇指向右上方的向量 v 和 指向右下方的向量 w 作為基向量。

對這組新的基向量進行縮放再相加，同樣也能構造出其他的向量

一組基向量就對應一個座標系，選擇不同的基向量就構造出了不同的座標系。同一個向量，在不同的座標系下（即採用不同的基向量），其座標值也要相應地發生變化。後面，咪博士會進一步談到具體如何變換。

上面，反覆出現 “將向量進行縮放再相加” 的操作，這樣的操作，我們稱之為 線性組合

2. 向量張成的空間

在二維平面中，選取 2 個向量，然後考慮它們所有可能的線性組合，我們會得到什麼呢？這取決於我們選擇的 2 個向量。

通常情況下，我們會得到整個平面

如果選擇的 2 個向量，恰好共線的話，那它們的線性組合就被侷限在一條過原點的直線上了

最極端的情況是，選擇的 2  個向量都是零向量，那麼它們的線性組合就只可能是零向量了

向量 v, w 的 全部線性組合 所構成的向量集合稱為向量 v, w 所 張成的空間

還記得前面的教程中，咪博士談到數乘和加法是向量 2 個最基礎的運算嗎？當我們談論向量所張成的空間時，我們實際上就是在問，僅僅通過數乘和加法 2 種基礎運算，你能獲得的所有可能的向量集合是什麼。

線上性代數中，向量的起點始終固定在原點的位置，因此 向量的終點就唯一確定了向量本身。這樣，我們便可以將向量看成是空間中的點（即向量的終點）。

3. 線性相關、線性無關

將線性組合的想法擴充套件到 3 維空間中。想象 3 個 3 維向量，它們所張成的空間會是什麼樣的呢？這取決於我們選擇的 3 個向量。

• a. 通常情況下，我們會得到整個 3 維空間
• b. 當選擇的 3 個向量共面時，它們所張成的空間是一個過原點的平面
• c. 當 3 個向量共線時，它們所張成的空間是一條過原點的直線
• d. 當 3 個向量都是零向量時，它們所張成的空間只包含零向量

顯然，在考慮向量所張成的空間時，有些向量是多餘的。例如，情況 b ，確定一個平面只需要 2 個向量，而我們卻用了 3 個向量，這意味著，有 1 個向量是多餘的；情況 c，確定一條直線只需要 1 個向量就夠了，而我們用了 3 個向量，其中有 2 個向量是多餘的。數學上，我們用線性相關來描述這樣的現象。

當我們說幾個向量所構成的向量組線性相關時，意思是向量組中的（任意）一個向量都可以用向量組中其他向量的線性組合來表示出來。換句話講，這個向量已經落在其他向量所張成的空間中，它對整個向量組張成的空間是沒有貢獻的，把它從向量組中拿掉，並不會影響向量組所張成的空間。

線性無關指的是，向量組中的（任意）一個向量無法用向量組中其他向量的線性組合表示出來。換句話說，向量組中的每一個向量都為向量組所張成的空間貢獻了一個維度，每一個向量都缺一不可，少了任何一個向量，都會改變向量組所張成的空間。

4. 基的嚴格定義

最後，我們把本節相關的概念串起來，形成基的嚴格定義：

向量空間的一組 基 是 張成 該空間的一個 線性無關 向量集