算術基本定理又叫唯一因子分解定理，算術基本定理的表述如下：

任何一個大於1的自然數 N,如果N不為質數，那麽N可以唯一分解成有限個質數的乘積

，這裏P1<P2<P3......<Pn均為質數，其中指數ai是正整數。這樣的分解稱為 N 的標準分解式。

　　在進行證明這個定理之前，先說一個關於素數整除性的一個基本而重要的事實。

歐幾裏得引理：對所有的素數p和所有整數a,b，如果p|ab,則p|a，或p|b。即：如果一個素數整除兩個正整數的乘積，那麽這個素數可以至少整除這兩個正整數中的一個。如果 p|bc，那麽p|b或者p|c。

證明：采用反證法，假設p|ab，但p不整除a也不整除b。所以gcd（p,a)=1,gcd(p,b)=1,這是因為p的約數只有1和p，又因為假設a，b都不能被p整除，所以gcd（p，ab）=1;由假設p|ab可知gcd（ab，p）=p，於是產生矛盾。從而證明定理成立。

　算術基本定理的證明：

　　　　必然性：用反證法：假設存在大於1的自然數不能寫成質數的乘積，把最小的那個稱為n。自然數可以根據其可除性（是否能表示成兩個不是自身的自然數的乘積）分成3類：質數、合數和1。首先，按照定義，n 大於1。其次，n 不是質數，因為質數p可以寫成質數乘積：p=p，這與假設不相符合。因此n只能是合數，但每個合數都可以分解成兩個嚴格小於自身而大於1的自然數的積。設，其中a 和b 都是介於1和n 之間的自然數，因此，按照n 的定義，a 和b 都可以寫成質數的乘積。從而 也可以寫成質數的乘積。由此產生矛盾。因此大於1的自然數必可寫成質數的乘積。

　　　　唯一性：

反證法：假設有些大於1的自然數可以以多於一種的方式寫成多個質數的乘積，那麽假設n 是最小的一個。首先n 不是質數。將n 用兩種方法寫出 。根據引理，質數 ，所以 中有一個能被整除，不妨設為。但也是質數，因此 。所以，比n小的正整數也可以寫成 。這與n 的最小性矛盾！

因此唯一性得證。

編程實現：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
 
const int maxn = 1000;
int a[maxn];
int num;
int main(void)
{
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        num = 0;
        for(int i = 2; i <= n; i++) 
        {
            while(n%i==0)
            {
                a[num++] = i;
                n = n/i;
            }            
        }
        for(int i = 0; i < num; i++)
        {
             printf(i==0?"%d":"*%d",a[i]);
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

數論-算術基本定理