算術基本定理的最早證明是由歐幾里得給出的。

每一個比1大的自然數N只能有一種方式分解成質數的乘積。

推論：若一個質數p是乘積ab的因子，則p不是a的因子就是b的因子。

大於1的自然數必可寫成質數之積

用反證法：假設存在大於1的自然數不能寫成質數的乘積，把最小的那個稱為n。

自然數可以根據其可除性（是否能表示成兩個不是自身的自然數的乘積）分成3類：質數、合數和1。首先，按照定義，n 大於1。其次，n 不是質數，因為質\數p可以寫成質數乘積：p=p，這與假設不相符合。因此n只能是合數，但每個合數都可以分解成兩個嚴格小於自身而大於1的自然數的積。設，其中a 和b 都是介於1和n 之間的自然數，因此，按照n

唯一性

歐幾里得《幾何原本》的證明方法

先證明推論：對應於《幾何原本》第7卷第30命題，設（7-30）

命題描述：以現在的數學語言，若質數p|ab，則不p|a就p|b

設c=ab；p為質數，若p量盡a，得證；若p量不盡a（即p不是a的因子），證明p量盡b即得證。

根據（7-29），因為p為質數，且p量不盡a，所以p、a互質。

用反證法證明如下：設p、a不互質，將有公因子m，因為m是a的因子，p不是a的因子，所以m不等於p，而m是p的因子，這是不可能的。

根據（7-定義15），c/p=t，得到c=pt，又c=ab，根據（7-19）得到p/a=b/t

根據（7-21），因為p、a互質，p、a是具有相同比的數對中最小的一對。

再根據（7-20），大小兩數a、p分別量盡具有同比的大小兩數t、b，所得的次數相同，即前項量盡前項、後項量盡後項，所以p量盡b，即得證。

最後一條定理（7-20）證明的難度較大，特證明如下：

命題：設a、b是與a/b有相同比的數對中最小的一對數，如果a/b=c/d，則a=(1/n)*c；b=(1/n)*d。

證明：因為a<c，所以a=(1/n)*c或者a=(m/n)*c,[1<m<n]

根據（7-13和定義20)，若a=(m/n)*c,那麼也有b=(m/n)*d

這樣a、b均有(1/m)的部分

根據（7-12），(1/m)*a : (1/m)*b = a : b

但是(1/m)*a 、 (1/m)*b 分別小於 a 、b，這與假設矛盾，所以僅有a=(1/n)*c

根據（7-13和定義20)，有a=(1/n)*c，b=(1/n)*d，故得證。

證明算術基本定理“質數分解唯一性”

命題：幾何原本描述，“如果一個數是被一些質數能量盡的最小者，那麼，除原來量盡它的質數外，任何另外的質數量不盡這個數。”

換句話說：一個數僅一種方法被分解為質因數之積。

設a是被質數b c d ... k的每一個整除的最小數，如果可能，假設a有一個不同與b c d ... k的質因數p,設a=p*m。根據（7-30），因為b c d ... k整除a，那麼它們必然整除兩因子p、m之一。而由假設，他們不整除p,所以他們必然整除小於a的數m，這與假設矛盾（假設a是最小的），因而a除b c d ... k外再無其他質因子。

現代證明方法，直接證明質數分解唯一性。

證明：反證法，設存在一個能分解為兩種根本不同的質數乘積的正整數，則其中必有一最小的（最小數原理），設m=p1p2...pr=q1q2...qs，從小到大排序。p1不等於q1，否則可消去，不滿足最小假設。設p1<q1。構造一整數m'=m-(p1q2...qs)=(p1p2...pr)-(p1q2...qs)=p1(p2...pr-q2...qs)

=(q1q2...qs)-(p1q2...qs)=(q1-p1)q2...qs

由於p1<q1,m'是一個正整數，且<m。因此m'的質數分解，除了因子次序外，必須是唯一的（m是最小數假設）。從上面表示式可看出，p1是m'的因子，再根據m'質數分解的唯一性得出（推論、用反證法很容易得到），p1必須是(q1-p1)或者q2...qs的因子，由於q都比p1大，這後一情形是不可能的，這樣就有某個整數h，使q1-p1=p1*h或q1=p1(h+1)。這表明p1是q1的一個因子，與q1是質數相矛盾。故得證。