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算術基本定理------比1大的整數N的素因子分解是唯一的

阿新 • • 發佈：2019-01-21

算術基本定理：每一個比1大的整數N只能有一種方式分解成素數的乘積。（不考慮因子的次序）

這個命題初看起來似乎是很明顯的，但它決不是不證自明的。本篇博文給出兩種證明方法。

證明一：反證法

思路： 假設存在一個整數，它有兩種根本不同的素數分解，然後從這個假設出發匯出一個矛盾，於是說明原假設不成立，命題得證。

證明： 如果存在整數（大於1），有兩種根本不同的素數分解，則這樣的正整數中必有一個是最小的，設這個最小的正整數為m。

m=p1p2...pr=q1q2...qs公式(1)
這裡的p、q均是素數，並安排p、q的次序，使得p1≤p2≤...≤pr,q1≤q2≤.
..≤qs.
在上述的分解中，p1不等於q1。如果兩者相等，我們能從等式（1）的每一邊消去第一個因子（即p1和q1），這與m是最小的可分解為兩種素因子分解的正整數矛盾。因此p1不等於q1，不妨假設p1<q1。構造一個整數
m′=m−(p1q2...qs)公式（2）
將公式（2）中的m用等式（1）中的兩個表示式帶入，可以把m′改寫成如下兩種形式 m′=m−(p1q2...qs)=p1p2...pr−p1q2...qs=p1(p2p3...pr−q2q3...qs)(公式3)
和
m′=m−(p1q2...qs)=q1q2...qs−p1q2...qs=(q1−p1)(q2
q3...qs)>0(公式4)
由上面的公式（1）和公式（4）可知m′小於m。因此m′的素數分解，排除因子的次序外，必須是唯一的。但從公式（3）知素數p1是m′的因子，所以由公式（4）可知p1必須是(q1−p1)或(q2q

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