算術基本定理的應用

題意:找出對於整數對（i，j),他們的lcm為n，這樣的整數對有多少。

思路：比如24=2^3*3^1： （1）如果一個數完整地包含了3^1但是沒有完整地包含2^3（一個數x完整地包含某個質因數p及其出現的次數t，指x可以被p^t整除），比如3,6,12，那麼另一個數必須完整地包含2^3，比如8,24。那麼此時有六種組合(3,8),(3,24),(6,8),(6,24),(12,8),(12,24) （2）若一個數完整地包含2^3但是沒有完整地包含3^1,比如8，那麼另一個數必須完整地包含3^1,比如3,6,12,24,此時有4個。 （3）若一個數完整地包含了2^3和3^1,比如24，那麼另一個數有(3+1)*(1+1)種可能，即1,2,3,4,6,8,12,24。 （4）若一個數既沒有完整的包含2^3也沒有完整地包含3^1,比如1,2,4，那麼另一個數必須為24,此時有3種。 到此為止，你發現除了(24,24)這種組合只在(3)中出現一次，其他情況均出現2次。若上面的總數為t，那麼答案為(t+1)/2。

假設lcm(X,Y)=M，分別分解X,Y,M

X=x1^a1*x2^a2...

Y=x1^b1*x2^b2..
M=x1^c1*x2^c2..
因為是公倍數 所以質因數肯定要相同
那麼max(a1,b1)=c1...max(a2,b2)=c2。 當b1=c1的時候a1的取法是(c1+1)種，a1=c1是b1取法也是(c1+1)種，但是有兩個(c1,c1)，所有對於每一個c1來說總的取法是（2*c1+1）. 因為要求i<=j，所以最後結果去重一下，但是(n,n)只有一次，那麼解就是(ans+1)/2。

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std ;
#define MAX 10000100
bool visit[MAX] ;
long long prime[MAX / 10] ;
int tot = 0 ;

void doprime()//素數篩
{
    for(long long i = 2 ; i < MAX ; i ++)
    {
        if(! visit[i])
        {
            prime[tot ++] = i ;
            for(long long j = i * i ; j < MAX ; j += i) visit[j] = true ;
        }
    }
}
int p[1000] ;//素因子
int a[1000] ;//素因子個數
int cnt ;
void sbreak(long long n)//素因子分解
{
    memset(p , 0 , sizeof(p)) ;
    memset(a , 0 , sizeof(a)) ;
    cnt = 0 ;
    for(int i = 0 ;prime[i] * prime[i] <= n ; i ++)
    {
        if(n % prime[i] == 0)
        {
            p[cnt] = prime[i] ;
            while(n % prime[i] == 0)
            {
                a[cnt] ++ ;
                n /= prime[i] ;
            }
            cnt ++ ;
        }
    }
    if(n != 1)
    {
        p[cnt] = n ;
        a[cnt ++ ] = 1 ;
    }
}
int main()
{
    int T ;
    long long num ;
    doprime() ;
    cin >> T ;
    for(int cas = 1 ; cas <= T ; cas ++)
    {
        cin >> num ;
        sbreak(num) ;
        long long ans = 1 ;
        for(int i = 0 ; i < cnt ; i ++)
            ans = ans * (a[i] * 2 + 1) ;
        ans = (ans + 1) / 2 ;
        printf("Case %d: %lld\n",cas,ans);
    }
    return 0;
}