題目類型：差分，線段樹

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題意：給出一個數列，每次給一個區間對應的加上一個等差數列，並詢問某一個元素目前的值。

解題思路

所謂差分，我個人的理解就是用\(O(1)\)的方法來維護前綴和，當然查詢變為了\(O(n)\)。差分就好像將前綴和變成了一個數一樣——當一段區間需要全部加上\(k\)時：差分數組某一位上\(+k\)，意味著這之後的所有元素都將\(+k\)。就好像一條帶子拖到最後了。因此我們如果僅僅操作一個區間的話，那麽要把後面多出來的帶子減掉，於是我們再另外加一條負的帶子在後面。

剛才談論整個區間都加一個相同的數。如果整個區間加的是一個等差數列呢？相當於這個區間內所加的數，每個都比前面的多加\(d\)

因此，如果用差分來維護這道題，我們來總結一下步驟：（按照題意，等差數列的更新方法是\(l \ r \ k \ d\)，代表左端點，右端點，首項，公差；設差分數組為\(s\)）

• 令\(s[l]+=k\)

• 令\(s[l+1..r]+=d\)

• 令\(s[r+1]-=k+d*(r-l)\)（末項）

由此我們發現，對於大多數的情況都是\(+d\)，因此轉化為一個區間更新的問題。差分數組的統計方法我們已經很熟悉了，需要從頭遍歷。因此元素\(p\)

因此我們可以用線段樹方便地\(O(logn)\)維護好

反思

一直以為差分和線段樹維護的幾乎是同一個東西，卻從來沒想過線段樹可以用來維護差分！線段樹維護差分，就好像求和的和。然而等差數列就好像是三維的一樣，先由差分轉化為二維，然後由線段樹轉化為線性。

正好像我們在找規律時所作的一樣，差，差之差，差之差之差。那麽這道題就好像倒過來，和，和的和，和的和的和……

Code

不需要建樹，線段樹寫起來好像異常短小精悍……\(qwq\)

/*By DennyQi 2018*/
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 100010;
const int INF = 1061109567;
inline int Max(const int a, const int b){ return (a > b) ? a : b; }
inline int Min(const int a, const int b){ return (a < b) ? a : b; }
inline int read(){
    int x = 0; int w = 1; register char c = getchar();
    for(; c ^ '-' && (c < '0' || c > '9'); c = getchar());
    if(c == '-') w = -1, c = getchar();
    for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x<<3) + (x<<1) + c - '0'; return x * w;
}
int N,M,opt,l,r,x,y;
int a[MAXN];
int val[MAXN<<2],lazy[MAXN<<2];
struct SegmentTree{
    inline void pushdown(int rt, int l, int r){
        if(lazy[rt]){
            int mid = (l+r)/2;
            val[rt<<1] += lazy[rt] * (mid-l+1);
            val[rt<<1|1] += lazy[rt] * (r-(mid+1)+1);
            lazy[rt<<1] += lazy[rt];
            lazy[rt<<1|1] += lazy[rt];
            lazy[rt] = 0;
        }
    }
    int query(int rt, int l, int r, int x, int y){
        if(l > y || r < x) return 0;
        if(x <= l && r <= y) return val[rt];
        pushdown(rt, l, r);
        int mid = (l+r)/2;
        return query(rt<<1,l,mid,x,y) + query(rt<<1|1,mid+1,r,x,y);
    }
    void update(int rt, int l, int r, int x, int y, int k){
        if(l > y || r < x) return;
        if(x <= l && r <= y){
            lazy[rt] += k;
            val[rt] += (r-l+1) * k;
            return;
        }
        pushdown(rt,l,r);
        int mid = (l+r)/2;
        update(rt<<1,l,mid,x,y,k), update(rt<<1|1,mid+1,r,x,y,k);
        val[rt] = val[rt<<1] + val[rt<<1|1];
    }
}qxz;
int main(){
    N = read(), M = read();
    for(int i = 1; i <= N; ++i){
        a[i] = read();
    }
    while(M--){
        opt = read();
        if(opt == 1){
            l = read(), r = read(), x = read(), y = read();
            qxz.update(1,1,N,l,l,x);
            qxz.update(1,1,N,l+1,r,y);
            qxz.update(1,1,N,r+1,r+1,-(x+y*(r-l)));
        }
        else{
            x = read();
            printf("%d\n", qxz.query(1,1,N,1,x)+a[x]);
        }
    }
    return 0;
}
 

洛谷[P1438] 無聊的數列