題目描述

華華和秀秀在玩紙牌遊戲，遊戲的規則如下：

初始時，桌面上有n張紙牌，每張紙牌上寫有一個正整數。遊戲開始時華華先在黑板上寫上數字0，之後秀秀和華華輪流選取紙牌（秀秀先手）。當一個人選定一張紙牌時，他需要將黑板上的數字改寫成這個數和紙牌上的數的最大公約數，然後將這張紙牌丟棄。當一個人寫下了1 或者無法選取紙牌時，他就輸了。

現在秀秀想知道：

1. 當華華和秀秀都按照隨機策略選取卡片時，秀秀獲勝的概率有多少；

2. 當華華和秀秀都按照最優策略選取卡片時，秀秀獲勝的概率有多少。

題解

兩個問題是完全沒關係的兩道題。
對於前者，我們可以記取了 $i$

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 1005
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int read(){
    int res,f=1; char c;
    while(!isdigit(c=getchar())) if(c=='-') f=-1; res=(c^48);
    while(isdigit(c=getchar())) res=(res<<3)+(res<<1)+(c^48);
    return res*f;
}
int n,num[maxn],gcd[maxn][maxn],sum[maxn],tot[maxn],mx;
double f[maxn][maxn],ans;
bool vis[maxn];
int _gcd(int a,int b){return b?_gcd(b,a%b):a;}
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        num[i]=read(),mx=max(mx,num[i]);
        for(int j=1;j<=num[i];j++){
            if(num[i]%j==0) sum[j]++;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=mx;j++){
            gcd[i][j]=_gcd(num[i],j);
        }
    }
    f[0][0]=1;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<=mx;j++){
            if(j^1) f[i+1][j]+=f[i][j]*(sum[j]-i)/(n-i);
            for(int k=1;k<=n;k++){
                if(gcd[k][j]^j) f[i+1][gcd[k][j]]+=f[i][j]/(n-i);
            }
        }
        if(i&1) ans+=f[i+1][1];
    }
    if(n&1) for(int i=2;i<=mx;i++) ans+=f[n][i];
    printf("%.9lf ",ans);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<i;j++){
            vis[gcd[i][num[j]]]=1;
        }
    }
    for(int i=2;i<=mx;i++){
        if(vis[i]) for(int j=2*i;j<=mx;j+=i) vis[j]=0;
    }
    for(int i=2;i<=mx;i++){
        if(vis[i]) for(int j=1;j<=n;j++) tot[i]+=(num[j]%i==0);
    }
    vis[1]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        bool flag=1;
        for(int j=1;j*j<=num[i];j++){
            if(num[i]%j==0){
                if(vis[j]) flag&=tot[j]&1;
                if(vis[num[i]/j]) flag&=tot[num[i]/j]&1;
            }
        }
        if(flag){puts("1.000000000"); return 0;}
    }
    puts("0.000000000");
    return 0;
}