母函式模板核心
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母函式,又稱生成函式,是ACM競賽中經常使用的一種解題演算法,常用來解決組合方面的題目。
本文講解母函式,但不講解該演算法的基礎理論。讀者隨便找一本組合數學教材便可找到相應的內容,或者直接在網上搜索一下。
母函式通常解決類似如下的問題:
給5張1元,4張2元,3張5元,要得到15元,有多少種組合?
某些時候會規定至少使用3張1元、1張2元、0張5元。
某些時候會規定有無數張1元、2元、5元。
……
解題過程
解題時,首先要寫出表示式,通常是多項的乘積,每項由多個x^y組成。如(1+x+x^2)(1+x^4+x^8)(x^5+x^10+x^15)。
通用表示式為
(x^(v[0]*n1[0])+x^(v[0]*(n1[0]+1))+x^(v[0]*(n1[0]+2))+...+x^(v[0]*n2[0]))
(x^(v[1]*n1[1])+x^(v[1]*(n1[1]+1))+x^(v[1]*(n1[1]+2))+...+x^(v[1]*n2[1]))
...
(x^(v[K]*n1[K])+x^(v[K]*(n1[K]+1))+x^(v[K]*(n1[K]+2))+...+x^(v[K]*n2[K]))
K對應具體問題中物品的種類數。
v[i]表示該乘積表示式第i個因子的權重,對應於具體問題的每個物品的價值或者權重。
n1[i]表示該乘積表示式第i個因子的起始係數,對應於具體問題中的每個物品的最少個數,即最少要取多少個。
n2[i]表示該乘積表示式第i個因子的終止係數,對應於具體問題中的每個物品的最多個數,即最多要取多少個。
對於表示式(1+x+x^2)(x^8+x^10)(x^5+x^10+x^15+x^20),v[3]={1,2,5},n1[3]={0,4,1},n2[3]={2,5,4}。
解題的關鍵是要確定v、n1、n2陣列的值。
通常n1都為0,但有時候不是這樣。
n2有時候是無限大。
之後就實現表示式相乘,從第一個因子開始乘,直到最後一個為止。此處通常使用一個迴圈,迴圈變數為i。每次迭代的計算結果放在陣列a中。計算結束後,a[i]表示權重i的組合數,對應具體問題的組合數。
迴圈內部是把每個因子的每個項和a中的每個項相乘,加到一個臨時的陣列b的對應位(這裡有兩層迴圈,加上最外層迴圈,總共有三層迴圈),之後就把b賦給a。
這些過程通常直接套用模板即可。
通用模板
下面我直接給出通用模板一:
//為計算結果,b為中間結果。 int a[MAX],b[MAX]; //初始化a memset(a,0,sizeof(a)); a[0]=1; for (int i=1;i<=17;i++)//迴圈每個因子 { memset(b,0,sizeof(b)); for (int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=P;j++)//迴圈每個因子的每一項 for (int k=0;k+j*v[i]<=P;k++)//迴圈a的每個項 b[k+j*v[i]]+=a[k];//把結果加到對應位 memcpy(a,b,sizeof(b));//b賦值給a }
P是可能的最大指數。拿鈔票組合這題來說,如果要求15元有多少組合,那麼P就是15;如果問最小的不能拼出的數值,那麼P就是所有錢加起來的和。P有時可以直接省略。具體請看本文後面給出的例題。
如果n2是無窮,那麼第二層迴圈條件j<=n2[i]可以去掉。
如何提高效率?
用一個last變數記錄目前最大的指數,這樣只需要在0..last上進行計算。
這裡給出第二個模板:
//初始化a,因為有last,所以這裡無需初始化其他位 a[0]=1; int last=0; for (int i=0;i<K;i++) { int last2=min(last+n[i]*v[i],P);//計算下一次的last memset(b,0,sizeof(int)*(last2+1));//只清空b[0..last2] for (int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=last2;j++)//這裡是last2 for (int k=0;k<=last&&k+j*v[i]<=last2;k++)//這裡一個是last,一個是last2 b[k+j*v[i]]+=a[k]; memcpy(a,b,sizeof(int)*(last2+1));//b賦值給a,只賦值0..last2 last=last2;//更新last }