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母函式 入門 + 模板

在數學中,某個序列的母函式(Generating function,又稱生成函式)是一種形式冪級數,其每一項的係數可以提供關於這個序列的資訊。使用母函式解決問題的方法稱為母函式方法

母函式可分為很多種,包括普通母函式指數母函式L級數貝爾級數狄利克雷級數。對每個序列都可以寫出以上每個型別的一個母函式。構造母函式的目的一般是為了解決某個特定的問題,因此選用何種母函式視乎序列本身的特性和問題的型別。

這裡先給出兩句話,不懂的可以等看完這篇文章再回過頭來看:

1.“把組合問題的加法法則和冪級數的乘冪對應起來”

2.“母函式的思想很簡單 — 就是把離散數列和冪級數一 一對應起來,把離散數列間的相互結合關係對應成為冪級數間的運算關係,最後由冪級數形式來確定離散數列的構造. “

我們首先來看下這個多項式乘法:

母函式圖(1)

由此可以看出:

1.x的係數是a1,a2,…an 的單個組合的全體。

2. x^2的係數是a1,a2,…a2的兩個組合的全體。

………

n. x^n的係數是a1,a2,….an的n個組合的全體(只有1個)。

進一步得到:

母函式圖(2)

母函式的定義

對於序列a0,a1,a2,…構造一函式:

母函式圖(3)

稱函式G(x)是序列a0,a1,a2,…的母函式。

這裡先給出2個例子,等會再結合題目分析:

第一種:

有1克、2克、3克、4克的砝碼各一枚,能稱出哪幾種重量?每種重量各有幾種可能方案?

考慮用母函式來解決這個問題:

我們假設x表示砝碼,x的指數表示砝碼的重量,這樣:

1個1克的砝碼可以用函式1+1*x^1表示,

1個2克的砝碼可以用函式1+1*x^2表示,

1個3克的砝碼可以用函式1+1*x^3表示,

1個4克的砝碼可以用函式1+1*x^4表示,

上面這四個式子懂嗎?

我們拿1+x^2來說,前面已經說過,x表示砝碼,x的指數表示砝碼的重量!初始狀態時,這裡就是一個質量為2的砝碼。

那麼前面的1表示什麼?按照上面的理解,1其實應該寫為:1*x^0,即1代表重量為2的砝碼數量為0個。

所以這裡1+1*x^2 = 1*x^0 + 1*x^2,即表示2克的砝碼有兩種狀態,不取或取,不取則為1*x^0,取則為1*x^2

不知道大家理解沒,我們這裡結合前面那句話:

把組合問題的加法法則和冪級數的乘冪對應起來

接著討論上面的1+x^2,這裡x前面的係數有什麼意義?

這裡的係數表示狀態數(方案數)

1+x^2,也就是1*x^0 + 1*x^2,也就是上面說的不取2克砝碼,此時有1種狀態;或者取2克砝碼,此時也有1種狀態。(分析!)

所以,前面說的那句話的意義大家可以理解了吧?

幾種砝碼的組合可以稱重的情況,可以用以上幾個函式的乘積表示:

(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)

=(1+x+x^2+x^4)(1+x^3+^4+x^7)

=1 + x + x^2 + 2*x^3 + 2*x^4 + 2*x^5 + 2*x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10

從上面的函式知道:可稱出從1克到10克,係數便是方案數。(!!!經典!!!)

例如右端有2^x^5 項,即稱出5克的方案有2種:5=3+2=4+1;同樣,6=1+2+3=4+2;10=1+2+3+4。

故稱出6克的方案數有2種,稱出10克的方案數有1種 。

接著上面,接下來是第二種情況:

第二種:

求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數:

大家把這種情況和第一種比較有何區別?第一種每種是一個,而這裡每種是無限的。

母函式圖(4)

以展開後的x^4為例,其係數為4,即4拆分成1、2、3之和的拆分方案數為4;

即 :4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

這裡再引出兩個概念"整數拆分"和"拆分數":

所謂整數拆分即把整數分解成若干整數的和(相當於把n個無區別的球放到n個無標誌的盒子,盒子允許空,也允許放多於一個球)。

整數拆分成若干整數的和,辦法不一,不同拆分法的總數叫做拆分數

現在以上面的第二種情況每種種類個數無限為例,給出模板

#include <iostream>
using namespace std;
// Author: Tanky Woo
// www.wutianqi.com
const int _max = 10001; 
// c1是儲存各項質量砝碼可以組合的數目
// c2是中間量,儲存每一次的情況
int c1[_max], c2[_max];   
int main()
{	//int n,i,j,k;
	int nNum;   // 
	int i, j, k;

	while(cin >> nNum)
	{
		for(i=0; i<=nNum; ++i)   // ---- ①
		{
			c1[i] = 1;
			c2[i] = 0;
		}
		for(i=2; i<=nNum; ++i)   // ----- ②
		{

			for(j=0; j<=nNum; ++j)   // ----- ③
				for(k=0; k+j<=nNum; k+=i)  // ---- ④
				{
					c2[j+k] += c1[j];
				}
				for(j=0; j<=nNum; ++j)     // ---- ⑤
				{
					c1[j] = c2[j];
					c2[j] = 0;
				}
		}
		cout << c1[nNum] << endl;
	}
	return 0;
}


我們來解釋下上面標誌的各個地方:(***********!!!重點!!!***********)

①  、首先對c1初始化,由第一個表示式(1+x+x^2+..x^n)初始化,把質量從0到n的所有砝碼都初始化為1.

②  、 i從2到n遍歷,這裡i就是指第i個表示式,上面給出的第二種母函式關係式裡,每一個括號括起來的就是一個表示式。

③、j 從0到n遍歷,這裡j就是(前面i個表示式累乘的表示式)裡第j個變數,(這裡感謝一下seagg朋友給我指出的錯誤,大家可以看下留言處的討論)。如(1+x)(1+x^2)(1+x^3),j先指示的是1和x的係數,i=2執行完之後變為

(1+x+x^2+x^3)(1+x^3),這時候j應該指示的是合併後的第一個括號的四個變數的係數。

④ 、 k表示的是第j個指數,所以k每次增i(因為第i個表示式的增量是i)。

⑤  、把c2的值賦給c1,而把c2初始化為0,因為c2每次是從一個表示式中開始的。

咱們趕快趁熱打鐵,來幾道題目:

(相應題目解析均在相應的程式碼裡分析)

這題大家看看簡單不?把上面的模板理解了,這題就是小Case!

看看這題:

要說和前一題的區別,就只需要改2個地方。 在i遍歷表示式時(可以參考我的資料—《母函式詳解》),把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍歷指數時把k+=i變成了k+=i*i; Ok,說來說去還是套模板~~~

這題終於變化了一點,但是萬變不離其中。

大家好好分析下,結合程式碼就會懂了。

還有一些題目,大家有時間自己做做:

HDOJ:1709,1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152

(原創文章,歡迎各位轉載,但是請不要任意刪除文章中連結,請自覺尊重文章版權,違法必究,謝謝合作。Tanky Woo原創, www.WuTianQi.com)

附:

1.在維基百科裡講到了普通母函式、指數母函式、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數:

2.Matrix67大牛那有篇文章:什麼是生成函式:

3.大家可以看看杭電的ACM課件的母函式那篇,我這裡的圖片以及一些內容都引至那。

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