母函式 入門 + 模板
在數學中,某個序列的母函式(Generating function,又稱生成函式)是一種形式冪級數,其每一項的係數可以提供關於這個序列的資訊。使用母函式解決問題的方法稱為母函式方法。
母函式可分為很多種,包括普通母函式、指數母函式、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數。對每個序列都可以寫出以上每個型別的一個母函式。構造母函式的目的一般是為了解決某個特定的問題,因此選用何種母函式視乎序列本身的特性和問題的型別。
這裡先給出兩句話,不懂的可以等看完這篇文章再回過頭來看:
1.“把組合問題的加法法則和冪級數的乘冪對應起來”
2.“母函式的思想很簡單 — 就是把離散數列和冪級數一 一對應起來,把離散數列間的相互結合關係對應成為冪級數間的運算關係,最後由冪級數形式來確定離散數列的構造. “
我們首先來看下這個多項式乘法:
母函式圖(1)
由此可以看出:
1.x的係數是a1,a2,…an 的單個組合的全體。
2. x^2的係數是a1,a2,…a2的兩個組合的全體。
………
n. x^n的係數是a1,a2,….an的n個組合的全體(只有1個)。
進一步得到:
母函式圖(2)
母函式的定義
對於序列a0,a1,a2,…構造一函式:
母函式圖(3)
稱函式G(x)是序列a0,a1,a2,…的母函式。
這裡先給出2個例子,等會再結合題目分析:
第一種:
有1克、2克、3克、4克的砝碼各一枚,能稱出哪幾種重量?每種重量各有幾種可能方案?
考慮用母函式來解決這個問題:
我們假設x表示砝碼,x的指數表示砝碼的重量,這樣:
1個1克的砝碼可以用函式1+1*x^1表示,
1個2克的砝碼可以用函式1+1*x^2表示,
1個3克的砝碼可以用函式1+1*x^3表示,
1個4克的砝碼可以用函式1+1*x^4表示,
上面這四個式子懂嗎?
我們拿1+x^2來說,前面已經說過,x表示砝碼,x的指數表示砝碼的重量!初始狀態時,這裡就是一個質量為2的砝碼。
那麼前面的1表示什麼?按照上面的理解,1其實應該寫為:1*x^0,即1代表重量為2的砝碼數量為0個。
所以這裡1+1*x^2 = 1*x^0 + 1*x^2,即表示2克的砝碼有兩種狀態,不取或取,不取則為1*x^0,取則為1*x^2
不知道大家理解沒,我們這裡結合前面那句話:
“把組合問題的加法法則和冪級數的乘冪對應起來“
接著討論上面的1+x^2,這裡x前面的係數有什麼意義?
這裡的係數表示狀態數(方案數)
1+x^2,也就是1*x^0 + 1*x^2,也就是上面說的不取2克砝碼,此時有1種狀態;或者取2克砝碼,此時也有1種狀態。(分析!)
所以,前面說的那句話的意義大家可以理解了吧?
幾種砝碼的組合可以稱重的情況,可以用以上幾個函式的乘積表示:
(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)
=(1+x+x^2+x^4)(1+x^3+^4+x^7)
=1 + x + x^2 + 2*x^3 + 2*x^4 + 2*x^5 + 2*x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10
從上面的函式知道:可稱出從1克到10克,係數便是方案數。(!!!經典!!!)
例如右端有2^x^5 項,即稱出5克的方案有2種:5=3+2=4+1;同樣,6=1+2+3=4+2;10=1+2+3+4。
故稱出6克的方案數有2種,稱出10克的方案數有1種 。
接著上面,接下來是第二種情況:
第二種:
求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數:
大家把這種情況和第一種比較有何區別?第一種每種是一個,而這裡每種是無限的。
母函式圖(4)
以展開後的x^4為例,其係數為4,即4拆分成1、2、3之和的拆分方案數為4;
即 :4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2
這裡再引出兩個概念"整數拆分"和"拆分數":
所謂整數拆分即把整數分解成若干整數的和(相當於把n個無區別的球放到n個無標誌的盒子,盒子允許空,也允許放多於一個球)。
整數拆分成若干整數的和,辦法不一,不同拆分法的總數叫做拆分數。
現在以上面的第二種情況每種種類個數無限為例,給出模板:
#include <iostream>
using namespace std;
// Author: Tanky Woo
// www.wutianqi.com
const int _max = 10001;
// c1是儲存各項質量砝碼可以組合的數目
// c2是中間量,儲存每一次的情況
int c1[_max], c2[_max];
int main()
{ //int n,i,j,k;
int nNum; //
int i, j, k;
while(cin >> nNum)
{
for(i=0; i<=nNum; ++i) // ---- ①
{
c1[i] = 1;
c2[i] = 0;
}
for(i=2; i<=nNum; ++i) // ----- ②
{
for(j=0; j<=nNum; ++j) // ----- ③
for(k=0; k+j<=nNum; k+=i) // ---- ④
{
c2[j+k] += c1[j];
}
for(j=0; j<=nNum; ++j) // ---- ⑤
{
c1[j] = c2[j];
c2[j] = 0;
}
}
cout << c1[nNum] << endl;
}
return 0;
}
我們來解釋下上面標誌的各個地方:(***********!!!重點!!!***********)
① 、首先對c1初始化,由第一個表示式(1+x+x^2+..x^n)初始化,把質量從0到n的所有砝碼都初始化為1.
② 、 i從2到n遍歷,這裡i就是指第i個表示式,上面給出的第二種母函式關係式裡,每一個括號括起來的就是一個表示式。
③、j 從0到n遍歷,這裡j就是(前面i個表示式累乘的表示式)裡第j個變數,(這裡感謝一下seagg朋友給我指出的錯誤,大家可以看下留言處的討論)。如(1+x)(1+x^2)(1+x^3),j先指示的是1和x的係數,i=2執行完之後變為
(1+x+x^2+x^3)(1+x^3),這時候j應該指示的是合併後的第一個括號的四個變數的係數。④ 、 k表示的是第j個指數,所以k每次增i(因為第i個表示式的增量是i)。
⑤ 、把c2的值賦給c1,而把c2初始化為0,因為c2每次是從一個表示式中開始的。
咱們趕快趁熱打鐵,來幾道題目:
(相應題目解析均在相應的程式碼裡分析)
這題大家看看簡單不?把上面的模板理解了,這題就是小Case!
看看這題:
要說和前一題的區別,就只需要改2個地方。 在i遍歷表示式時(可以參考我的資料—《母函式詳解》),把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍歷指數時把k+=i變成了k+=i*i; Ok,說來說去還是套模板~~~
這題終於變化了一點,但是萬變不離其中。
大家好好分析下,結合程式碼就會懂了。
還有一些題目,大家有時間自己做做:
HDOJ:1709,1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152
(原創文章,歡迎各位轉載,但是請不要任意刪除文章中連結,請自覺尊重文章版權,違法必究,謝謝合作。Tanky Woo原創, www.WuTianQi.com)
附:
1.在維基百科裡講到了普通母函式、指數母函式、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數:
2.Matrix67大牛那有篇文章:什麼是生成函式:
3.大家可以看看杭電的ACM課件的母函式那篇,我這裡的圖片以及一些內容都引至那。
如果大家有問題或者資料裡的內容有錯誤,可以留言給出,部落格:http://www.wutianqi.com/對於任何轉載本部落格文章且不保留原文連結或任意刪改文中連結的行為,本人將一定周旋到底!