NOIp 數學基礎

目錄

• 素數判斷
• gcd/exgcd
• 逆元
• crt（中國剩餘定理）
• 線性代數
  -快速冪
  • 矩陣相關
  • 高斯消元
• 組合數學
  • 卡特蘭數
  • 排列組合
  • Lucas定理
  • 二項式定理
  • 康託展開
  • 容斥原理
• 進位制相關
• 高精度運算

一、素數判斷

1、樸素的埃氏篩法

bool isp[MAXN];
int p[MAXN],tot;
void Prime(){
	for(int i=0;i<=n;i++)
	    isp[i]=1;
	isp[0]=isp[1]=0;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(isp[i])
			p[++tot]=i;
		for(int j=i*2;j<=n;j+=i)
		    isp[j]=0;
	}
}
 

可以發現一個合數被判斷的次數非常多，所以有如下優化：

2、尤拉篩（線性篩素數）

bool notp[MAXN];
int p[MAXN],tot;
void Prime(){
	memset(notp,0,sizeof notp);
	notp[0]=notp[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!notp[i])
			p[++tot]=i;
		for(int j=1;j<=tot;j++){
			if(p[j]*i>n)break;
			notp[p[j]*i]=1;
			if(i%p[j]==0)break;
		}
	}
}
 

保證了每個合數只被它最小的質因數篩去，提高了時間效率。

二、gcd、exgcd

1、 $gcd$

$gcd$

$lcm(a,b)$表示 $a$與 $b$的最小公倍數

性質

① $gcd(a,b)=gcd(a-b,b)=gcd(a\%b,b)$

證明：設 $a>b$

設 $gcd(a-b,b)=g$

$∴g|a-b,g|b$

$∵a=a+(a-b)$

$∴g|a$

$∴g|gcd(a,b)$

$∴gcd(a-b,b)|gcd(a,b)$

同理可證， $gcd(a,b)|gcd(a-b,b)$

$∴gcd(a,b)=gcd(a-b,b)$

`倒推可知， $gcd(a,0)=gcd(a,a)=a$

② $gcd(a,b)×lcm(a,b)=a×b$

證明：設 $g=gcd(a,b)，a=k1 * g , b=k2 * g$

$lcm(a,b)=lcm(k1×g,k2×g)$
$=g * lcm(k1,k2)=g×k1×k2$

$gcd(a,b)×lcm(a,b)=g×g×k1×k2$
$=(g×k1)×(g×k2)=a×b$

性質②也可通過唯一分解定理證明。

int Gcd(int a, int b){
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int Lcm(int a, int b){
	return(int)((long long)a*b/gcd(a,b));
}

2. $exgcd$

引理：貝祖定理（裴蜀定理）

對於任意整數 $a，b$和它們的最大公約數 $d$，關於 $x，y$的方程 $ax+by=m$當且僅當 $m$是 $d$的倍數時有整數解

證明（來自這位dalao）：

當 $b=0$時， $gcd（a，b）=a$，顯然存在一對整數解 $x=1，y=0$

若 $b！=0$

設 $ax_1+by_1=gcd(a,b)=gcd(b,a \ mod \ b )=bx_2+(a \ mod \ b)y_2$