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史上對傅立葉變換最精細的解讀

談到傅立葉變換,必然離不開基本的無窮級數。無窮級數是高等數學的一個重要組成部分,它是表示函式,研究函式性質的以及進行數值計算的一種工具,本文先討論常數項級數,接著討論函式的冪級數,然後討論函式的三角冪級數分解,最後到傅立葉級數然後到傅立葉變換。在介紹傅立葉變換時,會結合數學和物理,自然常識,儘量做到深入淺出。

本文將按照以下篇幅進行論述:

一、常數項級數以及冪級數

二、函式的冪級數展開

三、傅立葉級數

四、傅立葉變換

1 常數項級數以及冪級數

這部分將以圓的面積作為切入點。

在古代祖沖之就已經推算出了圓周率,用的是無限分割法,割之再割,不能再割。

冪級數的收斂,以指數函式為例:

 

 2.函式的冪級數展開

上圖中的①式是函式冪級數的一般形式,如果冪級數收斂的話,必存在n階導數,推匯出級數的一般表示式。當x0不為0時,通常稱為泰勒級數,當x0取0時,成為麥克勞林級數。對於指數函式的展開,通常按照麥克勞林級數展開,計算n階導數,直到導數不存在時終止,然後計算x0=0時的導數值,接著把指數函式展開,最後判斷收斂性。

3.傅立葉級數