決策樹與排序演算法的一般下界

阿新 • • 發佈：2018-11-09

定理：任何只用到比較的演算法最壞情況下需要 $\Omega (NlogN)$ 次比較

決策樹：用於證明排序演算法的下界，是一個二叉樹，每個節點是元素之間一組可能的排序，比較的結果是樹的邊，下圖表示將a，b，c排序的演算法

排序演算法比較次數等於最深的樹葉的深度，平均次數是平均深度

引理1：令T是深度為d的二叉樹，那麼T最多有 $2^d$ 個樹葉

證明：顯然

引理2：有L片樹葉的二叉樹的深度至少是 $\left \lceil logL \right \rceil$

證明：顯然

定理1：只用元素之間比較的任何排序演算法在最壞情況下至少需要 $\left \lceil log(N!) \right \rceil$ 次比較

證明：對N個元素排序，一定有 $N!$ 個樹葉，因為樹葉是每種排序的結果，應用引理2得到結論

定理2：只用元素之間比較的任何排序演算法需要進行 $\Omega (NlogN)$

次比較

證明：

$log(N!)=log(N(N-1)(N-2)...(2)(1))))$

$=logN + log(N-1) +...+log(2)+log(1)$

$\geqslant logN+log(N-1)+...+log(N/2)$

$\geqslant \frac{N}{2}log\frac{N}{2}$

$\geqslant \frac{N}{2}log\frac{N}{2}-\frac{N}{2}$

= $\Omega (NlogN)$

資訊理論下界：若存在任何P種不同的情況需要區分，問題是yes/no的形式，那麼任何演算法求解該問題總需要 $\left \lceil logP \right \rceil$ 個問題

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定理：任何只用到比較的演算法最壞情況下需要次比較決策樹：用於證明排序演算法的下界，是一個二叉樹，每個節點是元素之間一組可能的排序，比較的結果是樹的邊，下圖表示將a，b，c排序的演算法排序演算法比較次數等於最深的樹葉的深度，平均次數是平均深度引理1：令T是深度為d的二叉樹，那麼

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