給定正整數 \(N\)，求同時滿足下列條件的正整數對 \((a,b)\) 的數量：

• \(a+b \le N\)。
• \(a+b~|~ab\)。

對於 \(60 \%\) 的測試點，\(1 \le N \le 10^{7}\)。

對於全部測試點，\(1 \le N \le 10^{14}\)。

題解

先考慮對每個 \(1 \le x \le N\) 計算滿足 \(a+b=x\) 的數對數量。

當 \(x~|~a(x-a)\) 時，有 \(x~|~a^{2}\)。考慮 \(x\) 的質因數分解 \(p^{a_1}p^{a_2} \dots p^{a_k}\)，令 \(b_i = \lceil {\frac{a_i}{2}} \rceil\)

不妨換一種方式計數。令 \(g = \gcd(a, b)\)，\(\alpha = \frac{a}{g}\)，\(\beta = \frac{b}{g}\)，那麼滿足條件的 \((a,b)\) 有 \(\alpha + \beta = \alpha \cdot \beta \cdot g\)。因為 \(\gcd(\alpha, \beta) = 1\)