牛頓迭代法（Newton's method）

又叫“牛頓-拉弗森方法”（Newton-Raphson method），它是一種在實數域和複數域上近似求解方程的方法，方法是使用f(x)泰勒級數前幾項來尋找f(y) = 0的根。

原理

對於非線性方程同樣適用

總之，牛頓迭代公式：

應用

求某些方程的根

 1 double a, b, c, d;
 2 const double esp = 1e-6;
 3 
 4 double f(double x){
 5     return
 
 a * x * x * x + b * x * x + c * x + d;
 6 }
 7 
 8 double fd(double x){
 9     return 3 * a * x *x + 2 * b * x + c;
10 }
11 
12 //求解ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的一個根
13 double newton(double x)
14 {
15     while (fabs(f(x)) > esp){x = x - f(x) / fd(x);}
16     return x;
17 }

如果想求出一個範圍內的所有的跟，則可以在該範圍內列舉初始值x，來逼近根的值。

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<iostream>
 3 #include<vector>
 4 using namespace std;
 5 
 6 double a, b, c,d;
 7 const int INF = 0x3f3f3f3f;
 8 const int maxn = 2;
 9 const double esp = 1e-6;
10 double Abs(double x)
11 {
12     return x >= 0 ? x : -x;
13 }
14 double f(double
 
 x)
15 {
16     return a * x * x * x + b * x * x + c * x + d;
17 }
18 
19 //需要f的導數在適當的區間內絕對值不大於於某個小於1的正數
20 double fd(double x)
21 {
22     return 3 * a * x *x + 2 * b * x + c;
23 }
24 
25 //求解ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的所有根
26 void newton()
27 {
28     vector<double>ans;
29     //在一個大區域中逐個點用牛頓法，可找出大多數3次方程所有根   
30     for (int x0 = -maxn; x0 < maxn; x0++)
31     {
32         double x1 = x0;
33         int cnt = 0;   //迭代次數
34         while (Abs(f(x1)) > esp)
35         {
36             if ((++cnt) > 10000)  break;   //迭代次數超過1000，認為方程無解
37             double x = x1;
38             x1 = x - f(x) / fd(x);
39         }
40         if (cnt > 10000)  continue;
41         int flag = 0;
42         for(int i = 0;i < ans.size();i++)
43             if (Abs(ans[i] - x1) < 0.01)
44             {
45                 flag = 1;
46                 break;
47             }
48         if (!flag && x1 < INF && x1 > -INF)  ans.push_back(x1);   //x1==inf || -inf是在極值點，並不一定是方程的根
49     }
50     if (ans.size() == 0)  printf("無解\n");
51     else
52     {
53         for (int i = 0; i < ans.size(); i++)
54             printf("%lf  ", ans[i]);
55         printf("\n");
56     }
57 }
58 
59 int main()
60 {
61     while (scanf("%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d) == 4)
62         newton();
63 
64     return 0;
65 }

（這個程式碼測試起來有很多錯誤，有好的意見歡迎留言）

高精度開根號

對於一個已知的數 a，開根號本質上是求一個X，使得 X²=a，即X² - a = 0的根。

由前面易知迭代公式Xn+1 = Xn - (Xn² - a) / 2Xn = (Xn + a / Xn) / 2。

實際操作還需要套一個高精度除法。

缺點

並不能求解所有方程的根，而且得到的只是近似值，不是準確值。

收斂的充分條件：

若 f 二階可導，那麼在待求的零點 x 周圍存在一個區域，只要起始點 x0 位於這個臨近區域內，那麼牛頓-拉弗森方法必定收斂。

駐點

從代數上看，導數為0，無法迭代出下一個值。

越來越遠的不收斂

迴圈震盪的不收斂

參考連結：

https://blog.csdn.net/wubaizhe/article/details/75574798

https://baike.baidu.com/item/牛頓迭代法/10887580?fr=aladdin#2

https://zh.wikipedia.org/wiki/牛頓法

https://www.zhihu.com/question/20690553