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Description

給出一棵 \(n\) 個節點以 \(1\) 為根的樹，一個節點的覆蓋半徑是 \(1\) ，點有點權 \(val_x\) 。

選擇一些點，使得點權和最小，同時每個節點要麼被選擇要麼被周圍的點覆蓋。

• \(n\le 1500,0\le val_x\le 10^4\)

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Solution

樹形DP 的討論。

注意到覆蓋有可能呈現出兩層都沒有選點的情況 (下面被子樹覆蓋，上面被父節點覆蓋)，所以狀態設計要注意。

設\(f[i][0/1/2]\)，表示節點 \(i\) 及其子樹的覆蓋代價，明確定義：

• \(0\) 表示選擇自己，覆蓋整個子樹的最小代價
• \(1\) 表示第 \(i\) 個節點被自己的子樹的根節點覆蓋，不選擇自己的最小代價
• \(2\) 表示第 \(i\) 個節點被父節點覆蓋，此時當前節點的所有子樹都已經完成覆蓋的最小代價

轉移討論起來就很方便了。

\(0\) ：顯然要選自己，所以所有子樹選什麼都合法，對每個子樹累加 \(min(f[v][0],f[v][1],f[v][2])\) 。

\(2\)：不選自己，子樹內部顯然不能再向當前點提出需求，所以對子樹累加 \(min(f[v][0],f[v][1])\) 。

\(1\) 的轉移有點意思。

如果我們貪心的選，選擇 \(0\) 狀態最小的子樹，剩下的子樹都選 \(1\)

因為這個 \(0\) 狀態最小的子樹，他的 \(1\) 狀態可能會更小的多，這個差值完全能夠允許另一個 \(1\) 狀態變成 \(0\) 狀態。

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所以考慮替換, \(yy\) 出來一個比較好的寫法。

先對所有子樹求出 \(sum=min(f[v][0],f[v][1])\) 。

同時維護 \(tmp=min(\ f[v][0]-\min(f[v][0],f[v][1])\ )\)。

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這個 \(sum\) 的含義是，不考慮子樹覆蓋當前節點， 子樹內部覆蓋的最小值，可以發現其實就是 \(f[u][2]\) 。

\(tmp\) 的含義就是，把這個 \(sum\)

如果之前求 \(sum\) 的時候選了一個 \(0\) 狀態，那麼這個 \(tmp\) 顯然是 \(0\) 。

如果之前沒有選到任意一個 \(0\) 狀態，那麼這個 \(tmp\) 就是所有的 \(1\) 狀態裡，變成 \(0\) 狀態的最小代價。

所以有 \(f[v][1]=f[v][2]+tmp\) 。

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Code

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 1510
#define gc getchar
#define R register
#define inf 2000000000
using namespace std;

inline int rd(){
  int x=0; bool f=0; char c=gc();
  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
  return f?-x:x;
}

int n,m,tot,hd[N],f[N][3],val[N];

struct edge{int to,nxt;}e[N<<1];

inline void add(int u,int v){
  e[++tot].to=v; e[tot].nxt=hd[u]; hd[u]=tot;
}

//0: 選自己
//1: 選子樹內覆蓋自己
//2：選父節點覆蓋自己

void dfs(int u,int fa){
  int mn=inf;
  f[u][0]=val[u]; f[u][2]=0;
  for(R int i=hd[u],v;i;i=e[i].nxt)
    if((v=e[i].to)!=fa){
      dfs(v,u);
      f[u][0]+=min(f[v][2],min(f[v][1],f[v][0]));
      f[u][2]+=min(f[v][1],f[v][0]);
      mn=min(mn,f[v][0]-min(f[v][1],f[v][0]));
    }
    f[u][1]=f[u][2]+mn;
}

int main(){
  n=rd();
  memset(f,0x3f,sizeof(f));
  for(R int i=1,u,cnt;i<=n;++i){
    u=rd(); val[u]=rd(); cnt=rd();
    for(R int j=1,v;j<=cnt;++j){v=rd();add(u,v);add(v,u);}
  }
  dfs(1,0);
  printf("%d\n",min(f[1][0],f[1][1]));
  return 0;
}