題目描述

五一來臨，某地下超市為了便於疏通和指揮密集的人員和車輛，以免造成超市內的混亂和擁擠，準備臨時從外單位調用部分保安來維持交通秩序。

已知整個地下超市的所有通道呈一棵樹的形狀；某些通道之間可以互相望見。總經理要求所有通道的每個端點（樹的頂點）都要有人全天候看守，在不同的通道端點安排保安所需的費用不同。

一個保安一旦站在某個通道的其中一個端點，那麽他除了能看守住他所站的那個端點，也能看到這個通道的另一個端點，所以一個保安可能同時能看守住多個端點（樹的結點），因此沒有必要在每個通道的端點都安排保安。

編程任務：

請你幫助超市經理策劃安排，在能看守全部通道端點的前提下，使得花費的經費最少。

輸入輸出格式

輸入格式：

第1行 n，表示樹中結點的數目。

第2行至第n+1行，每行描述每個通道端點的信息，依次為：該結點標號i（0<i<=n），在該結點安置保安所需的經費k（<=10000），該邊的兒子數m，接下來m個數，分別是這個節點的m個兒子的標號r1，r2，...，rm。

對於一個n（0 < n <= 1500）個結點的樹，結點標號在1到n之間，且標號不重復。

輸出格式：

最少的經費。

如右圖的輸入數據示例

輸出數據示例：

輸入輸出樣例

6
1 30 3 2 3 4
2 16 2 5 6
3 5 0
4 4 0
5 11 0
6 5 0

25

說明

樣例說明：在結點2，3，4安置3個保安能看守所有的6個結點，需要的經費最小：25

題解

樹形dp經典題...同時貪心也可以做的，不過樹形dp是$O(n)$，貪心是$O(nlogn)$

（可以算是四倍經驗題了）

貪心做法可以看我這篇題解

這裏講樹形dp做法

我們可以設$f[x][0]$被子節點控制，$f[x][1]$被自己控制，$f[x][2]$被父親控制

那麽顯然$f[i][x]$可以從子節點中三個狀態任意一個轉移過來，所以

$f[x][1]+=min(f[e[i].to][0],min(f[e[i].to][1],f[e[i].to][2]))$

$f[x][2]$可以從子節點中除了被父親控制的那個節點轉移過來

$f[x][2]+=min(f[e[i].to][1],f[e[i].to][0])$

比較難辦的是$f[x][0]$的轉移

因為只要有一個子節點有人那麽其他子節點都可以不放人了

有一個很妙的做法

如果在這個子節點放人比不放人更優，那肯定就不放人了，順便標記一下

否則存下來放人與不放人的差值，對所有的差值取個min

到最後如果沒有被標記就加上這個差值

轉移方程為

$f[x][0]+=min(f[e[i].to][0],f[e[i].to][1])$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n;
int head[1000100],c[50000],cnt;
int f[50000][3];
//f[i][0]被子節點控制，f[i][1]被自己控制，f[i][2]被父親控制 

struct edge {
    int to,nxt;
}e[1000100];

void ins(int u,int v){
    e[++cnt].to=v;e[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;
    e[++cnt].to=u;e[cnt].nxt=head[v];head[v]=cnt;
}

#define inf 0x3f3f3f3f

void dfs(int x,int fa){
    f[x][1]=c[x];
    f[x][0]=f[x][2]=0;
    int cnt=0,tx=inf;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
        if(e[i].to==fa)continue;
        dfs(e[i].to,x);
        f[x][1]+=min(f[e[i].to][0],min(f[e[i].to][1],f[e[i].to][2]));
        f[x][2]+=min(f[e[i].to][1],f[e[i].to][0]);
        if(f[e[i].to][1]<f[e[i].to][0])cnt=1;
        else tx=min(tx,f[e[i].to][1]-f[e[i].to][0]);
        f[x][0]+=min(f[e[i].to][0],f[e[i].to][1]);
    }
    if(!cnt)f[x][0]+=tx;
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x;
        scanf("%d",&x);
        scanf("%d",&c[x]);
        int m;
        scanf("%d",&m);
        for(int j=1;j<=m;j++){
            int y;
            scanf("%d",&y);
            ins(x,y);
        }
    }
    dfs(1,0);
    printf("%d\n",min(f[1][0],f[1][1]));
}

[luogu 2458][SDOI2006]保安站崗