洛谷傳送門

BZOJ傳送門

題目描述

我們稱一個由 $0$和 $1$組成的矩陣是和諧的，當且僅當每個元素都有偶數個相鄰的 $1$

輸入輸出格式

輸入格式：

輸入一行，包含兩個空格分隔的整數 $m$和 $n$，分別表示矩陣的行數和列數。

輸出格式：

輸出包含 $m$

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：

4 4

輸出樣例#1：

0 1 0 0
1 1 1 0
0 0 0 1
1 1 0 1

說明

資料範圍

$1 \le m, n \le 40$

解題分析

首先我們可以暴力高斯消元， 因為是異或方程組， 可以用 $bitset$優化，複雜度是 $O(\frac{(nm)^3}{32})$， 的確能過…

然而這裡有一種更優雅的寫法： 我們發現只要確定第一行的元素就可以確定整個表的元素， 而整個表有合法解的必要條件為第 $n+1$行元素遞推出來全部為 $0$。那麼我們先 $O(nm)$遞推出第 $n+1$行元素對應的第一行的元素組成， 這樣就可以列出 $m$個 $m$元方程， 進而解出得到第一行的元素， 最後再遞推一次即可。

總複雜度 $O(m^3)$。

程式碼如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <bitset>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define MX 45
#define ll long long


int n, m;
ll tran[MX][MX];
std::bitset <MX> mat[MX], ans[MX];


void Gauss()
{
	for (R int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		for (R int j = i; j <= m; ++j)
		if (mat[j][i]) {std::swap(mat[j], mat[i]); break;}
		if (!mat[i][i]) continue;
		for (R int j = i + 1; j <= m; ++j) if (mat[j][i]) mat[j] ^= mat[i];
	}
	for (R int i = m; i; --i)
	{
		ans[1][i] = mat[i][i] ? mat[i][m + 1] : 1;
		if (ans[1][i]) for (R int j = 1; j < i; ++j) if (mat[j][i]) mat[j][m + 1] = !mat[j][m + 1];
	}
}


int main(void)
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (R int i = 1; i <= m; ++i) tran[1][i] = 1ll << i;
	for (R int i = 2; i <= n + 1; ++i)
	for (R int j = 1; j <= m; ++j)
	tran[i][j] = tran[i - 1][j - 1] ^ tran[i - 1][j] ^ tran[i - 1][j + 1] ^ tran[i - 2][j];
	for (R int i = 1; i <= m; ++i)
	for (R int j = 1; j <= m; ++j) mat[i][j] = (tran[n + 1][i] >> j) & 1;
	Gauss();
	for (R int i = 2; i <= n; ++i)
	for (R int j = 1; j <= m; ++j)
	ans[i][j] = ans[i - 1][j - 1] ^ ans[i - 1][j] ^ ans[i - 1][j + 1] ^ ans[i - 2][j];
	for (R int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		for (R int j = 1; j <= m; ++j) printf("%d ", (int)ans[i][j]);
		puts("");
	}
}