從這一講開始新的章節。這一講主要是一些基礎概念性質，所以比較簡單。

本講的主要內容：

• 行列式的概念
• 行列式的重要性質

行列式的概念以及基本的三個性質

行列式是由方陣 $A$ 確定的一個標量，記作 $det \enspace a$ 或者 $|A|$， 可以看作是面積或者體積向高維空間的拓展。這裡要注意的概念是我們一般意義上的考慮都是考慮方陣的行列式 行列式的三個基本性質：

• 1 $det \enspace I = 1$ 也就是單位矩陣的行列式值等於1（其實是對角線的數值的乘積）
• 2 交換矩陣的兩行，行列式的值會改變符號，所以由這個性質可以得出，任意的一個置換矩陣，它的行列式值是0或者1
• 3.1關於提取行列式中某一行的公因數的操作： $\begin{vmatrix} ta & tb\\ c & d \end{vmatrix}= t\begin{vmatrix} a &b \\ c &d \end{vmatrix}$
• 3.2 關於拆分行列式：$\begin{vmatrix} a+ a{}' & b+b{}'\\ c & d \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a &b \\ c &d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a{}' &b{}' \\ c & d \end{vmatrix}$

上面的三個性質作為行列式的最重要的三個性質，後邊的結論都可以有這三條推出。

重要推論

• 如果方陣的某兩行一樣，則行列式值為0，可以使用性質2推出
• 將某一行的乘以某個數加到另一行上，行列式的值不會變，比如：$\begin{vmatrix} a &b \\ c-la &d-lb \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a &b \\ -la & -lb \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}$
• 如果方陣中有某一行全為0，則行列式的值為0
• 關於上三角矩陣的行列式：$U=\begin{vmatrix} d_{1} & * & * & *\\ 0 & d_{2} & * & *\\ ... & ... & ... &... \\ 0 & 0 & 0 & d_{n} \end{vmatrix}\Rightarrow det U = d_{1}d_{2}...d_{n}$ 這裡可以繼續進行消元直到化簡為和行最簡形，這一條也是我們計算行列式的重要方法，實際上，在很多計算軟體中，都是先進性消元過程將矩陣轉化為上三角矩陣，然後再進行計算。
• 如果行列式的值為0，則矩陣是奇異矩陣，也就是矩陣沒有逆。
• $det \enspace AB =(det\enspace A )(det \enspace B)$
• $det A^{-1} = \frac{1}{detA}$ 、$detA^{2} = (detA)^{2}$
• $det 2A = 2^{n}detA$ 這三條都可以通過矩陣乘積的行列式分解得出
• $det A^{T} = det A$ 這一條結論可以先將方陣進行LU分解，那麼得到的是矩陣等於下三角矩陣乘上三角矩陣的形式，在這種形式下，行列式的值會比較好計算，結論就會很明顯。

這一講的這些性質會在之後的計算中用到。

以上~