先祭出一片神級總結性的文章：Lucas-Kanade 20 Years On: A Unifying Framework

Lucas-Kanade 演算法原理以及應用

一演算法原理

1.1 目標函式

Lucas-Kanade Algorithm本質上是為了最小化目標函式：

∑x[I(W(x;p+Δp))−T(x)]2 （1）∑x[I(W(x;p+Δp))−T(x)]2 （1）

類似高斯牛頓法。其中x為影象下標，可以是二維（對應影象畫素的座標），也可以是一維（此時為影象展成一維陣列時對應的下標）；

pp為目標狀態變數，

WW為仿射變化函式，具體範例如下:

2D平移：

W(x;p)=(x+p1y+p2),p=[p1p2]TW(x;p)=(x+p1y+p2),p=[p1p2]T

3D仿射變化

W(x;p)=(1+p1p2p31+p4p5p6)⎛⎝⎜xy1⎞⎠⎟W(x;p)=(1+p1p3p5p21+p4p6)(xy1)
其中

[p=(p1p2p3p4p5p6)T][p=(p1p2p3p4p5p6)T]

1.2 一階泰勒公式展開

對公式1進行一階泰勒公式展開可得

\[∑x[I(W(x;p))+

∇I∂W∂pΔp−T(x)]2\] （2）\[∑x[I(W(x;p))+∇I∂W∂pΔp−T(x)]2\] （2）
其中

[∇I=(IxIy)][∇I=(IxIy)]

設I已經展開成一列n維向量，則∇I為I在W(x;p)的梯度；

1.3 最小化目標函式條件下的Δp

求公式2關於Δp的偏導數

2∑x[∇I∂W∂p]T[I(W(x;p))+∇I∂W∂pΔp−T(x)] （3）2∑x[∇I∂W∂p]T[I(W(x;p))+∇I∂W∂pΔp−T(x)] （3）

讓公式3等於0，則

Δp=H−1∑x[∇I∂W∂p]T[T(x)−I(W(x;p))] （4）Δp=H−1∑x[∇I∂W∂p]T[T(x)−I(W(x;p))] （4）
其中

H=∑x[∇I∂W∂p]T[∇I∂W∂p]H=∑x[∇I∂W∂p]T[∇I∂W∂p]

二 LK算在跟蹤的應用

這部分將LK演算法應用到具體的目標跟蹤中，假設跟蹤目標用一個角度、尺度可變的矩形進行描述
將矩形框的位移、角度和尺度引數代入公式W(x;p)、x和p求得

2.1 平移、角度尺度版本

\[W(x;p)=(xScosθ−ySsinθ+ΔxxSsinθ+yScosθ+Δy)\]\[W(x;p)=(xScos⁡θ−ySsin⁡θ+ΔxxSsin⁡θ+yScos⁡θ+Δy)\]

變換引數p=(Δx,Δy,θ,S)T，順時針方向為正方向
則有以下推導

∂W∂p=(1001−xSsinθ−yScosθxScosθ−ySsinθxcosθ−ysinθxsinθ+ycosθ)∂W∂p=(10−xSsin⁡θ−yScos⁡θxcos⁡θ−ysin⁡θ01xScos⁡θ−ySsin⁡θxsin⁡θ+ycos⁡θ)

∇I∂W∂p=(∂I∂x∂I∂y)(1001−xSsinθ−yScosθxScosθ−ySsinθxcosθ−ysinθxsinθ+ycosθ

Lucas-Kanade 演算法原理以及應用，正向、反向、additive、Compositional光流法

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