1. 從n個不同元素中允許重複地選取r個元素的組合數是C(n+r-1,r)

   證明思路：採用劃歸轉化的思想，將可重組合轉化為無重組合，證明的一般思路：

   1. 先設出一組有序序列

   2. 對該序列進行變換

   3. 將變換後的序列轉化為在一個區間裡求無重組合。

證明過程：

2. 可重排列

3. 可重組合與方程解的個數的對應關係

   設n個盒子放的數量分別為 x1,x2,x3.....xn。那麼滿足 x1+x2+x3+x4+....xn=r(xi>=q)

   為了轉化為我們熟悉的x1+x2+x3...=d(xi>=1)，我們需要做一些變化

   設yi=xi-q+1，那麼 yi>=1,

   y1+y2+y3....=r-n*q+n(yi>=1)

   這樣就轉化成了n個數，每個數大於等於1，問最後和為 r-n*q+1的解有多少個，問題就變成了n個盒子去分r-n*q+1個球的問題，採用隔板原理即可。r-n*q+n-1個空，插n-1個隔板即可。

最後答案：C(n+(r-nq)-1,r-nq)

4. 相關組合恆等式的證明

  （1）  C(n, r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1)

        證明方式：任選一個數 c,那麼從n個數裡面選r個數，只有兩種情況，第一，包含c，第二不包含c。

                          包含c，那麼剩下去n-1個裡面選 r-1個即可

                          不包含c，那麼去n-1個裡面選r個即可。

                            所以，原式得證

    （2） C(n,l)C(l,r)=C(n,r)C(n-r,l-r)

              證明方式：左式：班級共n位同學，選出l位班委，班委中選出r位為核心；

                                 右式：先從n個同學中選出r個核心，再從剩下的n-r中選剩下的l-r班委

       （3）  C(n+r+1,r) = C(n+r,r) + C(n+r-1,r-1)+… + C(n+1,1)+C(n,0).

                  證明方式：和第1題非常類似，考慮包含1個，2個....r個的情況

                                  (1)組合中不含a1，從a1以外的(n+r)個元素取r個元素，組合數：C(n+r,r);            

                                   (2)組合中含a1，不含a2，從除a2外的(n+r-1)個元素取(r-1)個元素：組合數 C(n+r-1,r-1);                …                                              (i)組合數中含a1，a2，…,ai-1,但不含ai，則從(n+r+1-i)元素中取(r-(i-1))個元素，組合數:C(n+r-i+1,r-i+1);  

                                    (r)組合數中含a1，a2，…,ar, 只有這一種情形 C(n,0)。              

                                    由加法原理，得證。

          （4） C(m+n,r)=C(m,0)C(n,r)+C(m,1)C(n,r-1)+ …+C(m,r)C(n,0)

                     證明思路：考慮用m個藍色乒乓球，n個紅色乒乓球來證明。

5. 二項式定理