這是最後一篇ICG博弈，尼姆博弈，對比前面的巴什博弈和威佐夫博弈，尼姆博弈的玩法更加自由化，因此想贏的過程也更加複雜。

  如果沒有了解過巴什博弈和威佐夫博弈的，建議先看上兩篇 ：巴什博弈及證明   威佐夫博弈及證明

尼姆博弈（Nimm Game）

  目前有任意堆石子，每堆石子個數也是任意的，雙方輪流從中取出石子，規則如下：   ①每一步應取走至少一枚石子；每一步只能從某一堆中取走部分或全部石子；   ②如果誰取到最後一枚石子就勝。   設（a,b,c,d…）為每堆石子的個數（石子個數>=0），甲乙兩人遊戲，且甲先行。

  一樣的思路，找出必敗態，這裡用遞增窮舉的方法：   剩下1堆石子

，明顯（0）是一個必敗態,（k）是一個必勝態。

  剩下2堆石子，根據遊戲規則可知，（1,1）是一個失敗態，（1,2）是一個必勝態，（2,2）是一個失敗態，……發現（k,k）是一個必敗態，無論你怎麼取，對手只要從數量較少的一堆取走和你取走一樣的數量，則又回到了（k‘,k’）狀態，這樣一直下去，總會變成（1,1）或者（0,0），（k,k+m）是一個必勝態。

  剩下3堆石子，根據前面的結論，我們知道 （1,1,k）、（1,k,k）和（k,k,k）都是必勝態【都可以留下（k,k）必敗態給對手】，接下來對於任一個（a,b,c）都可以轉化為（k+m,k+n.k+p），而對於m\n\p，有3種情況，分別是①三者相等

，就是（k’,k’,k’），為必勝態。②兩者相等，假設為（k+m,k+p.k+p），這樣把k+m取完，留下必敗態給對手，也是必勝態。③三者不等，這種情況非常複雜，用簡單的公式難以表達，我們可以觀察到（1,2,3）是必敗態，但是（1,2,4）是必勝態，兩者只是相差一個石子，因此這裡先擱一擱。   ……   經過一些簡單的窮舉，儘管難以發現遞迴式或者通項公式，但是我們還是能感覺到一點非常重要的因素：一個狀態是必勝態還是必敗態，與剩下的石子堆之間是否相等有很大的關係。上面3種窮舉的結果如下：   必敗態：（0）、（k,k）   必勝態：（k）、（k,k+m）、（k,k,k）、（m,k,k）

  小白猜想不了這種規律的表達，但是被別人與計算機二進位制的異或運算聯絡了起來（這個人是誰，小白也不知道），對於異或運算⊕，也是和運算物件是否相等有關，小白的記憶方法是 異1同0

，也就是對於二進位制：

A	B	A⊕B
0	0	0⊕0 = 0 （同0）
0	1	0⊕1 = 1 （異1）
1	0	1⊕0 = 1 （異1）
1	1	1⊕1 = 0 （同0）

  兩個相異的數異或⊕就是1，兩個相同的數異或⊕就是0。

  使用異或運算，可以根據當前局面判斷全域性輸贏，判斷過程是：對於當前局面（a₁，a₂，a₃……a_n），如果a₁⊕a₂⊕a₃⊕……⊕a_n = 0，那麼當前局面就是必敗態，否則是必勝態。

  我們先代入窮舉出來的結果：   （0）、（k,k）：異1同0，確實k⊕k = 0，為必敗態。   （k）、（k,k+m）、（k,k,k）、（m,k,k）：異1同0，確實k⊕（k+m） ≠ 0，k⊕k⊕k ≠ 0，m⊕k⊕k ≠ 0，為必勝態

證明

  命題：尼姆博弈，如果當前局面（a₁，a₂……a_n）中，a₁⊕a₂⊕……⊕a_n = 0，那麼當前局面是必敗態。

  證明：明顯當a₁=a₂=……=a_n = 0的時候成立，（0）為必敗態。當（a₁，a₂……a_n）不全等於0的時候，有2種情況：   ① k = a₁⊕a₂⊕…⊕a_m⊕…⊕a_n ≠ 0，此時k的二進位制最高位為1，則一定存在a_m它的最高位也為1，因為異或運算保證了當運算結果為1的時候，某一方一定是1，於是a_p = a_m ⊕ k < a_m【異1同0，兩個最高位的1異或得到0】，此時把a_m替換為a_p，（a₁⊕a₂⊕…⊕ a_m ⊕…⊕a_n） => （a₁⊕a₂⊕…⊕ a_p ⊕…⊕a_n） = （a₁⊕a₂⊕…⊕ a_m ⊕ k ⊕…⊕a_n）=（a₁⊕a₂⊕…⊕ a_m ⊕…⊕a_n⊕ k） = k ⊕ k = 0，這個過程證明了 當 a₁⊕a₂⊕……⊕a_n ≠ 0的時候，存在有效的取法a_p = a_m ⊕ k使得取後的 結果a₁⊕a₂⊕……⊕a_n = 0。   ② k = a₁⊕a₂⊕…⊕a_m⊕…⊕a_n = 0，根據遊戲規則，必須從a_m中至少取走1個成為a_p < a_m，可以用反證法得到a₁⊕a₂⊕…⊕a_p⊕…⊕a_n ≠ 0，假設a₁⊕a₂⊕…⊕a_p⊕…⊕a_n = 0，那麼（a₁⊕a₂⊕…⊕a_m⊕…⊕a_n） = （a₁⊕a₂⊕…⊕a_p⊕…⊕a_n） = 0，兩邊依次同時異或a_j（j從1遞增到n），就可以得到a_p = a_m，與前提a_p < a_m矛盾，假設不成立，這個過程證明了 當a₁⊕a₂⊕…⊕a_m⊕…⊕a_n = 0的時候，不存在有效的取法讓取後的結果a₁⊕a₂⊕…⊕a_m⊕…⊕a_n = 0。

  綜上所述，當a₁⊕a₂⊕……⊕a_n ≠ 0的時候，存在有效的取法，令到a₁⊕a₂⊕……⊕a_n ≠ 0，而a₁⊕a₂⊕……⊕a_n = 0不存在有效的取法使得a₁⊕a₂⊕……⊕a_n = 0【也就必勝態有辦法讓下一步為必敗態，必敗態下一步一定為必勝態】，隨著局面的變化，a₁⊕a₂⊕……⊕a_n = 0最終會變成（0,0,0……0）也就是（0）必敗態，所以如果當前局面（a₁，a₂……a_n）中，a₁⊕a₂⊕……⊕a_n = 0，那麼當前局面是必敗態。

  如果不夠明白，可以訪問 大神鏈