取火柴的遊戲
題目1：今有若干堆火柴，兩人依次從中拿取，規定每次只能從一堆中取若干根， 
可將一堆全取走，但不可不取，最後取完者為勝，求必勝的方法。 
題目2：今有若干堆火柴，兩人依次從中拿取，規定每次只能從一堆中取若干根， 
可將一堆全取走，但不可不取，最後取完者為負，求必勝的方法。
嘿嘿，這個遊戲我早就見識過了。小時候用珠算玩這個遊戲：第一檔撥一個，第二檔撥兩個，依次直到第五檔撥五個。然後兩個人就輪流再把棋子撥下來，誰要是最後一個撥誰就贏。有一次暑假看見兩個小孩子在玩這個遊戲，我就在想有沒有一個定論呢。下面就來試著證明一下吧
先解決第一個問題吧。
定義：若所有火柴數異或為0，則該狀態被稱為利他態，用字母T表示；否則， 
為利己態，用S表示。
[定理1]：對於任何一個S態，總能從一堆火柴中取出若干個使之成為T態。
證明：
    若有n堆火柴，每堆火柴有A(i)根火柴數，那麼既然現在處於S態，
      c = A(1) xor A(2) xor … xor A(n) > 0;
    把c表示成二進位制，記它的二進位制數的最高位為第p位，則必然存在一個A(t),它二進位制的第p位也是1。（否則，若所有的A(i)的第p位都是0，這與c的第p位就也為0矛盾）。
    那麼我們把x = A(t) xor c,則得到x < A(t).這是因為既然A(t)的第p位與c的第p位同為1,那麼x的第p位變為0,而高於p的位並沒有改變。所以x < A(t).而
    A(1) xor A(2) xor … xor x xor … xor A(n)
  = A(1) xor A(2) xor … xor A(t) xor c xor … xor A(n)
  = A(1) xor A(2) xor… xor A(n) xor A(1) xor A(2) xor … xor A(n)
  = 0
這就是說從A(t)堆中取出 A(t) – x 根火柴後狀態就會從S態變為T態。證畢
[定理2]：T態，取任何一堆的若干根，都將成為S態。
證明：用反證法試試。
      若
      c = A(1) xor A(2) xor … xor A(i) xor … xor A(n) = 0；
      c’ = A(1) xor A(2) xor … xor A(i’) xor c xor … xor A(n) = 0;
      則有
c xor c’ = A(1) xor A(2) xor … xor A(i) xor … xor A(n) xor A(1) xor A(2) xor … xor A(i’) xor c xor … xor A(n) = A(i) xor A(i’) =0
      進而推出A(i) = A(i’)，這與已知矛盾。所以命題得證。
[定理 3]：S態，只要方法正確，必贏。 
  最終勝利即由S態轉變為T態，任何一個S態，只要把它變為T態，（由定理1，可以把它變成T態。）對方只能把T態轉變為S態(定理2)。這樣，所有S態向T態的轉變都可以有己方控制，對方只能被動地實現由T態轉變為S態。故S態必贏。
[定理4]：T態，只要對方法正確，必敗。 
  由定理3易得。 
接著來解決第二個問題。
定義：若一堆中僅有1根火柴，則被稱為孤單堆。若大於1根，則稱為充裕堆。
定義：T態中，若充裕堆的堆數大於等於2，則稱為完全利他態，用T2表示；若充裕堆的堆數等於0，則稱為部分利他態，用T0表示。
 
孤單堆的根數異或只會影響二進位制的最後一位，但充裕堆會影響高位（非最後一位）。一個充裕堆，高位必有一位不為0，則所有根數異或不為0。故不會是T態。
[定理5]：S0態，即僅有奇數個孤單堆，必敗。T0態必勝。 
證明：
S0態，其實就是每次只能取一根。每次第奇數根都由己取，第偶數根都由對 
方取，所以最後一根必己取。敗。同理,  T0態必勝#
[定理6]：S1態，只要方法正確，必勝。 
證明：
若此時孤單堆堆數為奇數，把充裕堆取完；否則，取成一根。這樣，就變成奇數個孤單堆，由對方取。由定理5，對方必輸。己必勝。  # 
[定理7]：S2態不可轉一次變為T0態。 
證明：
充裕堆數不可能一次由2變為0。得證。  # 

[定理8]：S2態可一次轉變為T2態。 
證明：
由定理1，S態可轉變為T態，態可一次轉變為T態，又由定理6，S2態不可轉一次變為T0態，所以轉變的T態為T2態。  # 
[定理9]：T2態，只能轉變為S2態或S1態。 
證明：
由定理2，T態必然變為S態。由於充裕堆數不可能一次由2變為0，所以此時的S態不可能為S0態。命題得證。 
[定理10]：S2態，只要方法正確，必勝. 
證明：
方法如下： 
      1）  S2態，就把它變為T2態。（由定理8） 
      2）  對方只能T2轉變成S2態或S1態（定理9）
    若轉變為S2,  轉向1） 
    若轉變為S1,  這己必勝。（定理5） 
[定理11]：T2態必輸。 
證明：同10。 
綜上所述，必輸態有：  T2,S0 
          必勝態：    S2,S1,T0. 
兩題比較： 
第一題的全過程其實如下： 
S2->T2->S2->T2->  ……  ->T2->S1->T0->S0->T0->……->S0->T0(全0) 
第二題的全過程其實如下： 
S2->T2->S2->T2->  ……  ->T2->S1->S0->T0->S0->……->S0->T0(全0) 
下劃線表示勝利一方的取法。  是否發現了他們的驚人相似之處。 
我們不難發現(見加黑部分)，S1態可以轉變為S0態（第二題做法），也可以轉變為 
T0（第一題做法）。哪一方控制了S1態，他即可以有辦法使自己得到最後一根（轉變為 
T0）,也可以使對方得到最後一根（轉變為S0）。 
  所以，搶奪S1是制勝的關鍵！ 
  為此，始終把T2態讓給對方，將使對方處於被動狀態，他早晚將把狀態變為S1.