給定一個整數 n，求以 1 ... n 為節點組成的二叉搜尋樹有多少種？

示例:

輸入: 3
輸出: 5
解釋:
給定 n = 3, 一共有 5 種不同結構的二叉搜尋樹:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

思路；

/*
     * 既然是二叉搜尋樹 那麼中序的結果為1 2 3 . . . n
     * 根據二叉搜尋樹可以知道，某根節點x，它的左子樹的值全<=x（當然本題不存在等於的情況），它的右子樹的值全>=x， 所以，當它的根節點是 1
     * 的時候，左子樹個數為 0 ，右子樹的個數為 n-1， 當它的根節點為 2 的時候， 左子樹個數為 1， 右子樹的個數為 n-2…… x-1個 x n-x個
     * 還有一個規律，就是這棵樹的不同形態的二叉查詢樹的個數，就是根節點的 左子樹的個數*右子樹的個數，想想還是很
     * 容易理解的，就是左邊的所有情況乘以右邊的所有情況 動態規劃，dp[i]從前到後計算出當有i個節點時,它有多少種不同形態的樹
     */

    /*
     * 就跟斐波那契數列一樣，我們把n = 0 時賦為1，因為空樹也算一種二叉搜尋樹，那麼n = 1時的情況可以看做是其左子樹個數乘以右子樹的個數，
     * 左右字數都是空樹，所以1乘1還是1。那麼n = 2時，由於1和2都可以為跟，分別算出來，再把它們加起來即可
     */

public static int numTrees(int n) {
		if (n == 0)
			return 0;
		if (n == 1)
			return 1;
		int[] dp = new int[n + 1];
		dp[0] = 1;
		dp[1] = 1;
		// 當節點個數為0時有一種形態的樹（也就是空樹吧），當節點個數為1時有一種形態的樹，之後就可以向下繼續計算節點為2,3,4,5，……n
		for (int i = 2; i <= n; i++) { //控制有多少個節點
			for (int j = 0; j < i; j++) {
				//  dp[j] * dp[i-1-j]為新加的j作為根節點 得到的情況數
				dp[i] = dp[i] + dp[j] * dp[i - 1 - j];
			}
		}
		return dp[n];
	}