給出一個 n, 用二叉搜尋樹來儲存1 … n，總共有多少種不同構的二叉搜尋樹？

Example:

輸入: 3
輸出: 5
解釋:
給出 n = 3, 總共有5種不同構的二叉搜尋樹:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

開始想的是搜尋，時間複雜度太高。然後查了一下，這是個卡特蘭數的應用場景。

什麼是卡特蘭數？

卡特蘭數是滿足h(n)=h(0)h(n-1)+h(1)h(n-2)+...+h(n-1)h(0)遞推公式的數。

這個問題為什麼是卡特蘭數，因為它滿足上述的遞推公式。下面給出簡單的推導過程。

首先，我們假設n個數1 … n，能夠形成的不同的二叉搜尋樹的個數是f(n)。
考慮，
· 當n為1時，f(1)=?,因為只有一個節點，顯然f(1)=1;

· 當n為2時，有2個節點。
	考慮根節點可以為1，那麼形成的二叉樹為
		1
		 \
		  2
	根節點也可以為2，那麼形成的二叉樹為
		  2
		 /
		1
	>>因此f(2)=2;
	
·當n為3時，有3個節點。
	1.考慮根節點可以為1，那麼形成的二叉樹為
	    1	                                  1
	      \                                     \
	        2            或者                    3
	          \                                 /
	            3	                         2
	2.根節點也可以為2，那麼形成的二叉樹為
		                 2
		                / \
		               1   3
	3.考慮根節點可以為3，那麼形成的二叉樹為
                    3                                   3
                   /                                   /
                  2                                  1
                 /                                     \
              1                                         2
	>>因此f(3)=5;

考慮普遍情況，對於n個節點，根節點為k時：
根節點的左子樹是一顆獨立的樹，同樣右子樹也是一顆獨立的樹。
那麼當根節點k=1時，它的左子樹有0個節點，右子樹有n-1個節點(根節點已經佔了一個節點)。
	·所以對於該左子樹，就是計算0個節點的不同的二叉搜尋樹個數的問題，也就是f(0)。
	·對於右子樹，就是計算n-1個節點的不同的二叉搜尋樹個數的問題，也就是f(n-1)。
	>>由於左右子樹是獨立的問題，所以當根節點k=1時，總個數為左子樹的不同BST個數*右子樹不同BST個數，
	  也就是f(0)*f(n-1)
	
上述只計算了根節點k=1的情況，現在根節點可以取[1,n]之間的任意一個整數。
因此，最後的結果也就是fh(n)=f(0)f(n-1)+f(1)f(n-2)+...+f(n-1)f(0)

這與卡特蘭數的遞推公式相同，因此這是個計算卡特蘭數的問題。
 

那麼問題來了，上邊我們只分析了這個問題屬於卡特蘭數問題，如何計算卡特蘭數呢？

由於我們已經有了遞推公式，只需寫一個程式來計算即可：

public static int numTrees(int n) {
        if(n<0) return 0;
        int [] f=new int[n+1];
        f[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for (int j = 0; j <i ; j++) {
                f[i]+=f[j]*f[i-1-j];
            }
 

        }
        return f[n];
    }

或者也可以通過通項公式來進行計算，不過我個人暫時覺得遞推的方法好些。
下面也給出通項公式（轉載一下吧）：
通項公式

還有一些擴充套件的問題也是屬於卡特蘭數的，比如一個棧(無窮大)的進棧序列為1,2,3,…n,有多少個不同的出棧序列?待補充。。。