洛谷 P1641 [SCOI2010]生成字串

題目描述 lxhgww最近接到了一個生成字串的任務，任務需要他把n個1和m個0組成字串，但是任務還要求在組成的字串中，在任意的前k個字元中，1的個數不能少於0的個數。現在lxhgww想要知道滿足要求的字串共有多少個，聰明的程式設計師們，你們能幫助他嗎？

輸入格式： 輸入資料是一行，包括2個數字n和m

輸出格式： 輸出資料是一行，包括1個數字，表示滿足要求的字串數目，這個數可能會很大，只需輸出這個數除以20100403的餘數。

輸入輸出樣例

說明 limitation 每點2秒 對於30%的資料，保證1<=m<=n<=1000 對於100%的資料，保證1<=m<=n<=1000000 來源：SCOI 2010

題目標籤：組合數學 逆元

聽說這好像時一道高考題orz

用n代表1的個數，m代表0的個數，設 x=n+m，y=n-m，建立直角座標系，生成字串就可以用從（0，0）到（n+m，n-m）的上升n次下降m次的折線表示，所有的情況個數為C(n+m,m)。

要滿足任意的前k個字元中，1的個數大於等於0的個數，也就是影象要始終在x軸的上方（n-m>=0）

如果影象到了x軸下方則存在k=n+m，n-m<0，1的個數小於0的個數

直接求影象在x軸上方的所有情況個數有點困難，根據對稱性可以轉化一下 影象有在x軸下方的情況可以看作折線到達y=-1 將影象到達y=-1之前的影象關於直線y=-1對稱翻折可以得到

所以答案就為C(n+m,m)-C(n+m,m-1)

然後就是處理組合數的問題了，這個資料範圍，用楊輝三角打表不現實，只能逆元打表了，之後用公式求組合數

逆元打表

在模質數M下，求1~n的逆元（n<M，M為奇質數）： inv[i] = (M-M/i) * inv[M%i]%M

板子：

const int maxn = 1e6+5;
int inv[maxn];
void inverse(int n,int M){
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		inv[i]=(long long)(M-M/i)*inv[M%i]%M;
	}
}
 

推導過程： 由 (M/i) * i + M%i = 0 (mod M)

=> -(M/i) * i = M%i (mod M) 兩邊同時除以 M%i /* i

=> -(M/i) * (1/(M%i)) = 1/(i) (mod M)

即：-(M/i) * inv[M%i] = inv[i] (mod M)

所以：inv[i]=(M-M/i) * inv[M%i]%M

程式碼：

#include <iostream>
#define LL long long
using namespace std;
const LL M = 20100403;
const int N = 1e6+10;
int inv[N],fac[N],n,m;
void init(int n){//逆元打表
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){//階乘
		fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%M;
	}
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){//1~n在 M 下的逆元
		inv[i]=(LL)(M-M/i)*inv[M%i]%M;
	}
	for(int i=2;i<=n;i++){//1~n的階乘在 M 下的逆元
		inv[i]=(LL)inv[i]*inv[i-1]%M;
	}
}
int comb(int a,int b){//求組合數
	if(a==b||b==0) return 1;
	if(b<0||b>a) return 0;
	return (LL)fac[a]*inv[b]%M*inv[a-b]%M;//組合數公式
}
int main(){//主函式
	cin>>n>>m;
	init(n+m);
	if(n<m||m+n==0){
		cout<<0;
		return 0;
	} 
	int an=(comb(m+n,m)-comb(m+n,m-1))%M;
	cout<<an;
	return 0;
}