1 定義

平衡二叉樹是一種二叉排序樹，其中每個節點的左子樹和右子樹的高度差至多等於1。其中，二叉樹節點的左子樹深度減去右子樹深度的值稱為平衡因子（BF），因此平衡二叉樹節點的平衡因子值只能為1、0或-1。距離插入節點最近的，且平衡因子的絕對值大於1的節點為根的子樹，我們稱為最小不平衡子樹。

2 平衡二叉樹的構建過程

平衡二叉樹的構建過程基於二叉排序樹的構建過程，在插入節點的過程中，一旦出現不平衡現象（即某節點的平衡因子大於1或小於-1），就找出最小不平衡子樹，進行“旋轉”操作，調整最小不平衡子樹中各節點的連結關係，使之成為新的平衡子樹。“旋轉過程”就好比一條扁擔出現一頭重一頭輕的現象，若能將扁擔的支撐點改變，扁擔兩頭就平衡了。
前人總結出在二叉排序樹中插入節點而失去平衡的情況下，對最小不平衡子樹進行調整，有4種“旋轉”型別（LL型，RR型，LR型，RL型），分別對應不同的不平衡情況。其中LL型和RR型只需要一次旋轉，而LR型和RL型則需要兩次旋轉。每種型別又可進一步細分為3種情況，總共4×3=12種情況

LL型（最小不平衡子樹的根結點平衡因子值大於1且與根結點左孩子節點的平衡因子符號相同）

RR型（最小不平衡子樹的根結點平衡因子值小於-1且與根結點右孩子節點的平衡因子符號相同）

LR型（最小不平衡子樹的根結點平衡因子值大於1且與根結點左孩子節點的平衡因子符號不相同）

RL型（最小不平衡子樹的根結點平衡因子值小於-1且與根結點右孩子節點的平衡因子符號不相同）

注意最小不平衡子樹中節點的平衡因子值在旋轉調整前後的變化，其中LL型和RR型平衡因子變化一致，而LR型和RL型則需分開討論

3 程式碼

首先建立二叉樹節點進行定義

function Node(key){
	this
 
.data = key;    //儲存資料
	this.bf = 0;         //平衡因子
	this.lChild = null;   //左孩子節點
	this.rChild = null;   //右孩子節點
}

接著是對不平衡子樹中某一節點T的一次左旋和右旋操作函式程式碼，返回旋轉後的新節點

//左旋
function L_Rotate(T){
	let R = T.rChild;
	T.rChild = R.lChild;
	R.lChild = T;
	return R;
}

//右旋
function R_Rotate(T){
	let L = T.lChild;
	T.lChild =
 
 L.rChild;
	L.rChild = T;
	return L;
}

現在我們假設對根結點為T的不平衡子樹做左旋和右旋操作函式分別為LeftBalance(T)和RightBalance(T)，該函式返回新的根結點。那麼平衡二叉樹的插入操作程式碼如下

var taller = true;
var temp = null;
function insertAVL(T,key){   //插入節點至平衡二叉樹
	if (!T){              //節點不存在，則在此位置新建節點
		T = new Node(key);
		taller = true;
	}else{
		if (key === T.data){   //如果二叉樹中已有與key相同的值，而不插入
			taller = false;
			return 0;
		}else if (key < T.data){   //如果插入值小於當前節點值
			temp = insertAVL(T.lChild,key); //則在當前節點的左子樹繼續搜尋
			if ( temp === 0) return 0;  //未插入
			T.lChild = temp;
			if (taller){
				switch (T.bf){      //在當前節點的左子樹成功插入節點時
					case 1:       //原本左子樹比右子樹高，插入節點後，需要做平衡處理
						T = leftBalance(T);  
						taller = false;
						break;
					case 0:       //原本左子樹和右子樹一樣高，插入節點後，樹長高
						T.bf = 1;
						taller = true;
						break;
					case -1:     //原本左子樹比右子樹矮，插入節點後，現左右樹等高
						T.bf = 0;
						taller = false;
						break;
				}
			}
		}else{                   //如果插入值大於當前節點值
			temp = insertAVL(T.rChild,key); //則在當前節點的右子樹繼續搜尋
			if ( temp === 0) return 0;  //未插入
			T.rChild = temp;
			if (taller){
				switch (T.bf){    //在當前節點的右子樹成功插入節點時
					case 1:       //原本左子樹比右子樹高，插入節點後，現左右樹等高
						T.bf = 0;
						taller = false;
						break;
					case 0:        //原本左子樹和右子樹一樣高，插入節點後，樹長高
						T.bf = -1;
						taller = true;
						break; 
					case -1:       //原本左子樹比右子樹矮，插入節點後，需要做平衡處理
						T = rightBalance(T);
						taller = false;
						break;
				}
			}
		}
	}
	return T;
}

最後一步，實現對根結點為T的不平衡子樹的旋轉操作，需要分情況討論只用一次旋轉還是要有兩次旋轉。

function leftBalance(T){   //對根結點為T的不平衡子樹進行旋轉調整操作
	let lc = T.lChild;   //根結點的左孩子
	switch (lc.bf){
		case 1:      //新節點插入在根結點左孩子的左子樹。為LL型
			lc.bf = 0;
			T.bf = 0;
			return R_Rotate(T);   //LL型為一次旋轉
		case -1:   //新節點插入在根結點左孩子的右子樹。為LR型
			let rd = lc.rChild;  //指向根結點左孩子的右子樹根
			switch (rd.bf){   //對應LR型的三種平衡因子變化情況
				case 1:       
					lc.bf = 0;
					T.bf = -1;
					break;
				case -1:      
					lc.bf = 1;
					T.bf = 0;
					break;
				case 0:
					lc.bf = 0;
					T.bf = 0;
					break;
			}
			rd.bf = 0;
			T.lChild = L_Rotate(T.lChild);  //LR型為兩次旋轉
			return R_Rotate(T);
	}
}


function rightBalance(T){    //對根結點為T的不平衡子樹進行旋轉調整操作
	let rc = T.rChild;   //根結點的右孩子
	switch (rc.bf){
		case -1:      //新節點插入在根結點左孩子的左子樹。為RR型
			rc.bf = 0;
			T.bf = 0;
			return L_Rotate(T);   //RR型為一次旋轉
		case 1:   //新節點插入在根結點左孩子的右子樹。為RL型
			let ld = rc.lChild;  //指向根結點左孩子的右子樹根
			switch (ld.bf){   //對應RL型的三種平衡因子變化情況
				case 1:      
					rc.bf = -1;
					T.bf = 0;
					break;
				case -1:      
					rc.bf = 0;
					T.bf = 1;
					break;
				case 0:
					rc.bf = 0;
					T.bf = 0;
					break;
			}
			ld.bf = 0;
			T.rChild = R_Rotate(T.rChild); //RL型為兩次旋轉
			return L_Rotate(T);
	}
}

平衡二叉樹的刪除操作更為複雜，先佔個坑，以後有空再來慢慢研究，https://blog.csdn.net/goodluckwhh/article/details/11786079/