利用費馬小定理求逆元經典案例
逆元的概念在這就不多說了 不知道的自行百度。
費馬小定理:a是不能被質數p整除的正整數,則有a p−1 ≡ 1 (mod p)
推導:a^(p−1) ≡ 1 (mod p) = a*a^(p−2 )≡ 1 (mod p) ;
則a的逆元 為 a^(p−2)。利用費馬小定理求逆元的前提強調p一定是質數。
說這些你可能不太明白,先看一道題就明白了,
要求(A/B)%9973,但由於A很大,我們只給出n(n=A%9973)(我們給定的A必能被B整除,且gcd(B,9973) = 1)。
Input
資料的第一行是一個T,表示有T組資料。
每組資料有兩個數n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。
Output
對應每組資料輸出(A/B)%9973。
Sample Input
2
1000 53
87 123456789
Sample Output
7922
6060
如果我們直接求肯定不行 ,所以要利用逆元求解,並且9973(即是上面的p)為質數,
設C是B的逆元,則有B*C≡1(mod P); 推論:(A/B)mod P = (A/B)*1mod p = (A/B)*B*C mod p=A*C(mod p); 即A/B的模等於A*(B的逆元)的模;l利用費馬小定理得出C=B^(p-2);則原式可轉化為(A*C)%p=(A%p*C%p)%p;個人見解,歡迎糾錯
程式碼:
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define mod 9973
typedef long long ll;//對 long long重新命名
ll DD(ll a ,ll b)//求解 a^b%mod(因為a^b太大 需利用快速冪求解)
{
ll res=1;
if(b<0)
return 0;
while(b)
{
if(b&1) res=res*a%mod;
a=a*a%mod;
b>>=1;
}
return res;
}
int main()
{
ll a,b,i;
ll t;
scanf("%lld",&t);
while(t--)
{
scanf("%lld %lld",&a,&b);
i=DD(b,(mod-2));//i即為 b的逆元
printf("%lld\n",(a%mod*i%mod)%mod); //A*C)%p=(A%p*C%p)%p
}
return 0;
}