B-tree 演算法詳解
作者：Chank
原文連結：http://blog.csdn.net/flq_chank/article/details/41928291
一、B-tree演算法定義
對於最小度數為d(d≥2, 最大度為2d-1)，樹高為h的樹T來說，如果樹T擁有如下性質：
(1)所有的葉子結點都擁有相同的高度，即樹T的高度h。
(2)除了樹根和葉子結點外，所有的結點至少有d個孩子。樹根則是葉子結點或至少有2個孩子。
(3)每一個結點至多有2d–1個孩子。
我們則稱樹T為B-tree。如下圖所示即為一棵度數為2的簡單B-tree：
可以看出，B-tree是一種平衡樹，每個葉子結點都擁有相同的高度h。每一個結點中可以含有兩種型別的資料。一種是指標(葉子結點沒有)，可以指向其孩子結點；另一種則是資料域，一般含有兩種資訊，即按升序排序的鍵和儲存的資訊。即一個B-tree結點的結構可以用如下方式來表示：
| p0 | data0 | p1 | data1 | … | … | pn | datan | pn+1 |
其中p是指標，指向其孩子結點。data主要有兩個資料域，升序排序的鍵data.key（data0.key < data1.key < … < datan.key）和儲存的資訊data.info。對於度數為d的B-tree來說，由於d≤n+2≤2d-1,即d-2≤n≤2d-3。例如上圖中根結點的100即是鍵值也是資料資訊，即data.key=data.info=100，是一種及其簡單的形式。
二、B-tree查詢資料
B-tree演算法可以說是一種很優雅的演算法，對B-tree中資料的增加或刪除都能很容易地使之重新平衡。
假設要查詢資料x，則B-tree演算法的查詢演算法如下：
(1)將樹根r賦給p，即p=r。
(2) 如果p為NULL，就結束查詢返回未找到資料和當前結點的地址(插入資料時要用到)。否則，轉(3)
(3)如果x<data0.key，則將p0賦給p，轉(2)。否則，轉(4)
(4)判斷是否存在x=datai.key，如果存在，則返回找到資料。否則，轉(5)。
(5)判斷是否存在datai.key<x<datai+1.key(1≤i≤n)，如果存在，則將pi賦給p，轉(2)。否則，將pn+1賦給p，轉(2)
如果要查詢資料60，查詢過程如下圖虛線所示
三、B-tree演算法插入
B-tree插入資料會可能導致結點滿而分裂，但分裂後卻仍然能保持B-tree平衡。假設要插入資料x，則B-tree演算法的插入演算法如下：
(1)對要查詢的資料x執行一次查詢操作。如果找到，就直接結束操作；否則，轉(2)
(2)如果p為NULL，則說明樹為空，建立一個根結點，返回成功。否則，判斷當前結點是否滿(n>2d-3)，如果未滿，插入x結束操作。如果滿，轉(3)
(3)設當前結點p為(p0,data0,p1,data1 ,…datad-1,…,p2d-2,data2d-2,p2d-1 )。建立一個新的結點p’包含資料(pd,datad,…,p2d-2,data2d-2,p2d-1)，則結點p變為(p0,data0,p1,data1 ,…,pd-2,datad-2,pd-1)。設p的父結點為P。此時，如果P為NULL(根結點已滿)，建立一個新的根結點包含資料：p的地址、datad-1和p’的地址；如果P不為NULL，則轉(4)
(4)將datad-1和結點p’的地址插入到p的父結點P中。此時，如果父結點P未滿，則結點返回成功；否則將P賦給p，轉(3)
例如，對如圖3-1的B-tee插入資料300後的B-tree如下圖所示：
如果繼續插入資料1，則根結點會滿，此時會建立新的根結點，如下圖所示：
四、B-tree演算法刪除
假設要刪除資料x，則B-tree演算法的刪除演算法如下：
(1)對要刪除的資料x執行一次查詢操作。如果沒有找到，就直接結束操作；否則，轉(2)
(2)假設x在結點p(…,datai,pi,…)中(即datai.key=x)，判斷p是否在葉子結點中，如果不是，轉(3)；如果是，刪除datai，轉(5)
(3)根據pi和它所指向結點的p0，並一直沿著p0這條路徑查詢，直到找到葉子結點。用找到的葉子結點的data0來替換(2)中找到的datai,轉(4)
(4)刪除葉子結點的data0,轉(5)
(5)對於葉子結點，如果n≥d-2，則結束操作，返回成功。否則，轉(6)
(6)執行一次合併操作(跟父結點的datai和它的兄弟結點合併)。如果合併後的結點n>2d-3，則執行一次類似插入操作的分裂操作(將合併後的結點從中間分成兩部分)。如果合併後其父結點n≥d-2，則結束操作，返回成功。否則，轉(6)
如下圖所示，該B-tree的度數d=3：
如果要刪除該B-tree中的70，則刪除後的B-tree如下圖所示：
