為什麼學習B樣條

Bezier曲線/曲面不支援區域性的修改和編輯；
Bezier曲線/曲面拼接時，滿足幾何連續條件是十分困難的。

B樣條的歷史

1946年，Schoenberg提出了一種基於樣條的方法來近似曲線；

B樣條的動機源於插值中的Runge-Kutta現象：高階多項式很容易產生不穩定的上下抖動。

為什麼不用分段低階多項式通過連續的連線來代替高階多項式呢？這就是樣條（分段低階多項式）的思想。

1972年，基於Schoenberg的工作，Gordon和Riesenfeld提出了B樣條以及一系列對應的幾何演算法。

如何求解B樣條

樣條函式的插值，可以通過求解一個三對角方程來進行。
對於一個給定的區間劃分，可以類似的計算樣條曲線的插值。
給定區間上的所有樣條函式組成一個線性空間。這個線性空間的基函式就叫做B樣條基函式。

B樣條基函式

P(t)=∑i=04PiNi,4
1.B樣條基函式Ni,k(t)的非零區間是什麼？ (ti,ti+k)
-小部分非0，大部分為0，保證了B樣條的區域性性。

2.一共需要多少個節點？
P0對應N0,4,N0,4對應的非零區間為（t0,t4）
P1對應N1,4,N1,4對應的非零區間為（t1,t5）
P2對應N2,4,N2,4對應的非零區間為（t2,t6）
P3對應N3,4,N3,4對應的非零區間為（t3,t7）
P4對應N0,4,N4,4對應的非零區間為（t4,t8）

-共（N+K+1）個

3.B樣條插值出的曲線的定義區間是什麼？

上圖中t3-t5有定義，其他區間無意義。總共五個基函式。k階指的是一段內必須有k個基函式，這樣才有意義，否則基底少了一個就不完備了。每個基函式跨越了k個區間。

B樣條分類

一般的曲線可以根據起始點和終止點是否重疊來進行分類：
- 不重合：開曲線
- 重合：閉曲線
根據節點向量中節點的分佈，B樣條可以分為如下四類：

（1）均勻B樣條
節點成等差數列均勻分佈排布，例如：0,1,2,3,4,5,5,7

0,1,2,3定義一段，1,2,3,4定義另一段。兩端之間有三個點之間重合,就可以兩次連續。

最大特定：給定控制網格，就可以畫出（估計出）曲線。

如1,3兩點的中點與2相連，相連線段的三分之一處為均勻B樣條的起始點；2,4兩點的中點與3相連，相連線段的三分之一處為均勻B樣條過的點；這樣依次連線，就可以大概畫出均勻B樣條。

（2）準均勻B樣條：將起點和終點的都有k的重複度， 曲線就會經過端點。（對比均勻B樣條，起點應在1,3兩點的中點與2連線，取連線的三分之一處。）

（3）分段Bezier曲線：起始節點和終止節點都具有k的重複度，所有其他節點都具有k-1的重複度。

以上所有的分段都為Bezier曲線，對於分段Bezier曲線，不同的曲線段相互獨立，移動控制點只會影響其所在的Bezier曲線段，而其他的Bezier曲線段都不會改變，甚至所有關於Bezier曲線的演算法可以同樣地適用於分段Bezier曲線。

但是分段Bezier曲線需要使用更多的引數和變數來進行控制：更多的控制點和更多的節點。

（4） 非均勻B樣條
節點向量T=[t0,t1,…,tn+k]中的節點呈非減序列排布，並且滿足：
起始節點和終止節點的重複度均小於等於k;
其他節點的重複度小於等於k-1。

性質1：區域性支援性：
區間t∈[ti,ti+1]上的曲線僅至多k個控制點Pj(j=i−k+1,…，i)決定，因為在t∈[ti,ti+1]區間上最多有k個控制點有定義。

修改控制點Pi僅會影響到區間(ti,ti+k)的曲線。

性質2：連續性：
P(t)在每一個重複度為r的節點上具有Ck−1−r的連續性。
解釋：假如k階曲線，且節點向量不重複，由於k階曲線是k-1階連續。樣條的概念是要比多項式低一次的幾何連續性，所以k階曲線在節點向量不重複的情況下，是k-1-1次連續。例如4階曲線是（4-1-1=2）的連續。

性質3：凸包性：
一個B樣條曲線被包圍在其控制頂點的凸包內部。

性質4：變差縮減性（Variation Diminishing Property）：
任何一條直線與B樣條曲線的交點樹木不會超過該直線與B樣曲線的控制多邊形的交點數目。

性質5：仿射不變形：
對曲線的變化可以通過對頂點的控制來選擇。

性質6：直線保持性：
如果控制多邊形退化成為一條直線，那麼B樣條曲線依然在這條直線上。

性質7：靈活性：
使用B樣條曲線可以方便地構建如線段，尖點，切線等特殊效果。

以4階B樣條為例，如果需要包含一條線段，只需要指定控制頂點Pi,Pi+1,Pi+2,

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