問題

如何檢測一個連結串列是否有環？如果有環，如何確定環的起點以及長度？

Floyd cycle detection（龜兔演算法）

龜兔賽跑

對於賽道來說，如果賽道中有環，那麼速度快的兔子一定會在某個地點追上烏龜，並且兔子所跑的距離減去烏龜所跑的距離，一定是環長度的整數倍。

原理

假設令龜、兔為指標，並且指向起點位置，兔子每次移動兩個節點，烏龜每次移動一個節點。如果兩者在起始節點外相遇，則說明有環。如果兔子在走到連結串列尾部還沒有與烏龜相遇，說明無環。

環長度

通過上述演算法判斷出存在環C時，顯然龜兔位於同一節點M，此時，令兔子保持不動，而烏龜不斷推進，記錄移動距離，等再次相遇時，移動步數即環C長度。

環起點

只要令兔子仍位於相遇節點M， 而令烏龜返回連結串列起始節點S，此時烏龜與兔子之間的距離為環C長度的整數倍。隨後，同時讓烏龜與兔子不斷推進一步，直至相遇同一節點P，則節點P即為從連結串列起始節點所到達的環C的第一個節點，即環C起點。

分析

如圖所示，令起始節點為h， 起始節點到環起點距離為m， 龜兔相遇節點為p， p節點與環起點距離為n；
當龜兔相遇時
烏龜所跑距離為 S = m + n + aC（C 為環長度),
兔子所跑距離為2S = m + n + bC（因為兔子速度為烏龜2倍）
故得S = (b - a)C = m + n + aC ==> (b - 2a)C = m + n

int *t = head, *h = head;
// 判圈
do{
    h = h->next;
    if(h != null)
        h = h->next;
    t = t->next;
}while(h != t || h != null);

if(h !=
 
 null)
{
    // 環長度
    t = head;
    cnt = 0;
    while(h != t)
    {
        t = t->next;
        ++cnt;
    }
    // 環起點
    t = head;
    while(h != t)
    {
        h = h->next;
        t = t->next;
    }
    p = h; // p為起點
}

演算法複雜度

時間複雜度

如果烏龜走到環起點P時，此時顯然兔子已經在環內某節點，之後兔子最多走一圈就會與烏龜相遇。假設連結串列起始節點到環起點距離為m， 環長度為n, 故時間複雜度為O(m + n)

空間複雜度

演算法僅需要建立指標t, h 環長計數n 以及環起點P. 故空間複雜度為O(1)

Brent’s Cycle Detection(The Teleporting Turtle)

原理

起始令烏龜兔子指向起始節點，讓烏龜保持不動，兔子走2i$2^i$ 步， 即迭代一次，兔子走2步， 迭代2次，兔子走4步等等。在兔子走每一步後，判斷龜兔是否相遇，如果沒有相遇，則讓烏龜的位置變成兔子所在的位置，否則如果烏龜不動，則烏龜永遠無法進入環內，隨後進入新的迭代。迴圈下去，直至相遇或到表尾。

環長

由於烏龜一直處於兔子更改步長上限時的位置，所以更改步長上線後，兔子走了幾步與烏龜相遇，則環的長度就為多少。

環起點

Flyod判圈演算法利用了烏龜和兔子的距離是環長整數倍的性質求起點，所以可以讓烏龜回到起點，兔子回到距離起點環長距離的節點，隨後與Floyd演算法一樣

int *t = head, *h = head;
int steps_taken = 0, steps_limit = 2;
while(True)
{
    if(h == null)
        break; // No Loop
    ++steps_taken;
    if(h == t)
        break; // Found Loop;
    if(steps_taken == step_limit)
    {
        steps_taken = 0;
        step_limit *= 2;
        t = h; // teleport the t;
    }
}

演算法複雜度

時間複雜度

O(n), 線性複雜度，並且比Flyod 表現更好，且Flyod 是該演算法的最差表現

空間複雜度

O(1) 常數空間

參考資料