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Cycle detection——Floyd判圈演算法

阿新 • • 發佈：2019-02-11

Cycle detection

作者：money
標籤：leetcode，algorithm，Floyd’s cycle-finding algorithm，floyd判圈演算法

問題描述

對於一個函式f,他能將有限集合S對映到自身，對於起始數值X0∈S，我們有Xn∈S且

x0,x1=f(x0),x2=f(x1),...,xn=f(xn−1)

當第i，j（i≠j）出現xi=xj，並且後續的序列xi−xj−1出現重複，則序列存在迴圈。
例如序列：
1,2,3,4,5,6,4,5,6,4,5,6......
在例如狀態轉移圖：
image

S=0,1,2,3,4,5,6,7,8
存在以下狀態迴圈：
2

,0,6,3,1,6,3,1,6,3,1,....
迴圈圈（cycle）為6,3,1

迴圈圈判斷演算法——Floyd’s cycle-finding algorithm

我們設定兩個指標slow，faster，在序列中已不同速度進行移動。去判斷是否存在迴圈圈。

image

關鍵環節：
對於任意整數i≥μ 並且k≥0，xi=xi+kλ，λ為迴圈圈大小，μ是迴圈圈第一個元素，當i=kλ≥μ，我們有xi=x2i。因此我們讓slow以1步，faster以2步去檢索序列即可發現一個週期v，這個v是λ的整數倍，使得我們slow指標和faster指標所指向的內容相同。
我們有以下問題：

1、判斷是否存在迴圈圈

slow指標以1步前進，faster指標已兩步前進，如存在迴圈必然存在xi=x2i，其中i=kλ，我們可以計算迴圈圈的特點和我們什麼時候會找到迴圈圈：
這裡寫圖片描述

根據上圖，我們有：
i=p+sλ+r
2i=p+fλ+r
r=−p+(f−2s)λ
我們要求0<r<λ，f−2s≥0
所以有(f−2s)λ>P，即當非迴圈段長度P很大時，我們的slow指標可能會經過很多個迴圈，此時我們v=fast−slow=kλ，其中k>0。

2、找到迴圈起始點μ及最短週期

根據上述情況，我們在迴圈中的第r個元素，找到的迴圈週期v=fast−slow=kλ，r不是迴圈其實μ，v並不是最小週期，此時我們需找到迴圈其實點μ

及最小週期λ。
求μ：
因為我們知道v是週期，我們從頭開始遍歷序列，設定兩個指標prt1和prt2，其中prt2=prt1+v，當prt1指向μ時，prt2就指向k個迴圈後的μ,值相等。這樣就找到了週期的其實序列μ；

找到μ後，我們找下一個等於μ的值，其中的長度就是最小週期λ
此處注意問題的定義，因為是xn+1=f(x

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