Beta分佈與Dirichlet分佈的定義域均為[0,1]，在實際使用中，通常將兩者作為概率的分佈，Beta分佈描述的是單變數分佈，Dirichlet分佈描述的是多變數分佈，因此，Beta分佈可作為二項分佈的先驗概率，Dirichlet分佈可作為多項分佈的先驗概率。這兩個分佈都用到了Gamma函式，所以，首先了解一下Gamma函式。

1. Gamma函式

  首先看其表示式
  Γ(x)=∫∞0tx−1e−tdt
這樣的表達看懂都很難，更不知道那些數學家怎麼想出來的。據LDA數學八卦中記錄，在Gamma函式的發現中做出主要貢獻的數學家有哥德巴赫、丹尼爾·伯努利(不是伯努利分佈的那個伯努利)，最終由尤拉解決這個問題(這些大數學家互相都認識的啊)。
  Gamma函式是對階乘在實數領域的擴充套件，也就是說，Γ

(x+1)=xΓ(x)，下面用分部積分的方法進行推導，如不關心，可以略過。
  

Γ(x)=∫∞0tx−1e−tdt=1x∫∞0e−tdtx=1x(e−ttx|∞0−∫∞0txde−t)=1x∫∞0txe−tdt=1xΓ(x+1)
據PRML第71頁(2.14)式，Gamma函式在Beta分佈和Dirichlet分佈中起到了歸一化的作用。

2. Beta分佈

  Beta分佈描述的是定義在區間[0,1]上隨機變數的概率分佈，由兩個引數α>0和β>0決定，通常記為μ∼Beta(μ|α,β)，其概率密度函式如下
  P(μ|α,β)=Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)μα−1(1−μ)β−1=

1B(α,β)μα−1(1−μ)β−1
其中，Γ(⋅)就是Gamma函式，B(α,β)為Beta函式，並且
  B(α,β)=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)
Beta分佈的概率密度函式曲線如下圖：(摘自wikipedia Beta distribution)

由於Beta分佈定義在區間[0,1]上，所以適合作為概率的分佈。第一段提到Beta分佈可作為二項分佈的先驗概率，那就需要從二項分佈的定義來理解Beta分佈的形式。已知二項分佈的形式為：
  p(x=k|n,μ)=Cknμk(1−μ)n−k
對μ進行後驗概率估計時，其似然項是μ和(1−μ)的指數形式，如果先驗概率也選擇為μ

和(1−μ)的指數形式，那麼後驗概率就仍然保持這種指數形式，這種性質叫做共軛分佈，我們會在後面的文章中對共軛分佈進行介紹。
因此，Beta分佈就是μ和(1−μ)的指數形式，其中Beta函式為歸一化係數。Beta分佈的均值和方差分別為
  E[μ]=αα+β
  var(μ)=αβ(α+β)2(α+β+1)

3. Dirichlet分佈

  Dirichlet分佈是關於定義在區間[0,1]上的多個隨機變數的聯合概率分佈，假設有d個變數μi，並且∑di=1μi=1，記μ=(μ1,μ2,...,μd)，每個<