1.圓周卷積（circular convolution）

圓周卷積，也叫迴圈卷積，兩個長度為N的有限場序列x(n)$x(n)$和h(n)$h(n)$的迴圈卷積定義為

即迴圈卷積相當於週期延拓後的序列x˜(n)$\tilde{x}(n)$和h˜(n)$\tilde{h}(n)$做週期卷積後再取主值區間，若x(n)和h(n)的離散傅立葉變換為X(K)$X(K)$和H(K)$H(K)$，則有

即時域中的迴圈卷積對應於其離散傅立葉變換的乘積，迴圈卷積的結果y(n)長度為N
關於圓周卷積的計算，可以看另一篇的圖解計算

2.線性卷積（linear convolution）

　　通常所說的卷積就是指線性卷積，設x(n)、h(n)長度分別為M和N，則它們的線性卷積結果為

得到的y(n)長度為M+N-1,同樣，根據卷積定理可以知道，時域卷積等於頻域相乘

注意，現在只是頻域DTFT相乘相等，而離散傅立葉變換相乘並不相等，DFT是在DTFT基礎上再進行了頻域取樣，即對ω$\omega$ 離散化。
　　要讓線性卷積的時域結果與頻域相乘的逆變換相等，首先容易想到的就是對H(ω$\omega$ )和X(ω$\omega$)做相同的頻域取樣，也就是對x(n)、h(n)做相同點數的DFT，即讓兩序列在時域做圓周卷積，那麼現在問題是，做多少點數的DFT能讓圓周卷積等於線性卷積呢？
　　
　　線性卷積最常見，直接套用公式計算，這裡就不圖解。
　　
結論：利用迴圈卷積計算線性卷積的條件為迴圈卷積長度

　　1. 將序列x(n)$x(n)$和h(n)$h(n)$補零延長，使其長度L⩾N1=N+M−1$L⩾N_1=N+M-1$，若採用基-2 FFT，還應使L$L$為不小於N1$N_1$的2的最小整數次冪；
　　
　　2. 做x(n)$x(n)$和h(n)$h(n)$的長度為L$L$的FFT得到X(k)$X(k)$和H(k)$H(k)$，並求它們的積Y(k)=X(k)H(k)$Y(k)=X(k)H(k)$;
　　
　　3. 求Y(k)$Y(k)$的iFFT並取前N1$N_1$點，獲得線性卷積的結果y(n)=IFFT[Y(k)],0⩽n⩽N1$y(n)=IFFT[Y(k)],0⩽$

　　說的好像很簡單的樣子，那就用程式碼驗證下
　　

x1 = [1,7,8,9,5,4,6,3,2];
x2 = [5,8,9,6,3,4,8,2,1,7,5,6,7];
conv(x1,x2)
L = 21;
ifft(fft(x1,L).*fft(x2,L))

上面程式中x1的長度為9，x2的長度為13，用matlab的conv函式直接計算出時域線性卷積，然後我們再驗證下頻域相乘，改變L值使分別L=13、21、23看看，與conv的結果對比，可以驗證，只有當L>=9+13時才會得到與conv一樣的結果。

　　那為什麼要講線性卷積轉化為迴圈卷積呢，那是因為時域中的迴圈卷積對應於其離散傅立葉變換的乘積，在兩個卷積項非常長且長度相差不大時，轉換到頻域利用FFT計算量會大大減小。
　　當兩個卷積項長度相差很大時，又該怎麼辦呢，這又引出了下一個問題，重疊相加法與重疊保留法