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費馬小定理 素性判斷 蒙哥馬利演算法

阿新 • • 發佈：2019-01-10

轉載於http://blog.csdn.net/arvonzhang/article/details/8564836

1.約定

x%y為x取模y，即x除以y所得的餘數，當x<y時，x%y=x，所有取模的運算對象都為整數。
x^y表示x的y次方。乘方運算的優先順序高於乘除和取模，加減的優先順序最低。
見到x^y/z這樣，就先算乘方，再算除法。
A/B，稱為A除以B，也稱為B除A。
若A%B=0，即稱為A可以被B整除，也稱B可以整除A。
A*B表示A乘以B或稱A乘B，B乘A，B乘以A……都一樣。

複習一下小學數學
公因數：兩個不同的自然數A和B，若有自然數C可以整除A也可以整除B，那麼

C就是A和B的公因數。

公倍數：兩個不同的自然數A和B，若有自然數C可以被A整除也可以被B整除，那麼C就是A和B的公倍數。

互質數：兩個不同的自然數，它們只有一個公因數1，則稱它們互質。

費馬是法國數學家，又譯“費爾馬”，此人巨牛，他的簡介請看下面。不看不知道，一看嚇一跳。

2.費馬小定理：

有N為任意正整數，P為素數，且N不能被P整除（顯然N和P互質），則有：N^P%P=N(即：N的P次方除以P的餘數是N)。

但是我查了很多資料見到的公式都是這個樣子：

(N^(P-1))%P=1後來分析了一下，兩個式子其實是一樣的，可以互相變形得到。

原式可化為：

(N^P-N)%P=0(即：N的P次方減N可以被P整除，因為由費馬小定理知道N的P次方除以P的餘數是N)把N提出來一個，N^P就成了你N*(N^(P-1))，那麼(N^P-N)%P=0可化為：

(N*(N^(P-1)-1))%P=0
請注意上式，含義是：N*(N^(P-1)-1)可以被P整除

又因為N*(N^(P-1)-1)必能整除N（這不費話麼!）
所以，N*(N^(P-1)-1)是N和P的公倍數，小學知識了^_^

又因為前提是N與P互質，而互質數的最小公倍數為它們的乘積，所以一定存在

正整數M使得等式成立：N*(N^(P-1)-1)=M*N*P
兩邊約去N，化簡之：N^(P-1)-1=M*P
因為M是整數，顯然：N^(P-1)-1)%P=0即：N^(P-1)%P=1
============================================

3.積模分解公式

先有一個引理，如果有：X%Z=0，即X能被Z整除，則有：(X+Y)%Z=Y%Z
設有X、Y和Z三個正整數，則必有：(X*Y)%Z=((X%Z)*(Y%Z))%Z

想了很長時間才證出來，要分情況討論才行：

1.當X和Y都比Z大時，必有整數A和B使下面的等式成立：
X=Z*I+A（1）
Y=Z*J+B（2）
不用多說了吧，這是除模運算的性質！
將（1）和（2）代入(X*Y)modZ得：((Z*I+A)(Z*J+B))%Z乘開，再把前三項的Z提一個出來，變形為：(Z*(Z*I*J+I*A+I*B)+A*B)%Z（3）

因為Z*(Z*I*J+I*A+I*B)是Z的整數倍……暈，又來了。
概據引理，（3）式可化簡為：(A*B)%Z又因為：A=X%Z，B=Y%Z，代入上面的式子，就成了原式了。

2.當X比Z大而Y比Z小時，一樣的轉化：
X=Z*I+A
代入(X*Y)%Z得：
(Z*I*Y+A*Y)%Z
根據引理，轉化得：(A*Y)%Z
因為A=X%Z，又因為Y=Y%Z，代入上式，即得到原式。
同理，當X比Z小而Y比Z大時，原式也成立。

3.當X比Z小，且Y也比Z小時，X=X%Z，Y=Y%Z，所以原式成立。
=====================================================

4.快速計算乘方的演算法

如計算2^13，則傳統做法需要進行12次乘法。

  1. /*計算n^p*/
  2. unsigned power(unsigned n,unsigned p)  
  3. {  
  4.     for(int i=0;i<p;i++) n*=n;  
  5.     return n;  
  6. }  

該死的乘法，是時候優化一下了！把2*2的結果儲存起來看看，是不是成了：

4*4*4*4*4*4*2
再把4*4的結果儲存起來：16*16*16*2 
一共5次運算，分別是2*2、4*4和16*16*16*2

這樣分析，我們演算法因該是隻需要計算一半都不到的乘法了。
為了講清這個演算法，再舉一個例子2^7：2*2*2*2*2*2*2 
兩兩分開：(2*2)*(2*2)*(2*2)*2 
如果用2*2來計算，那麼指數就可以除以2了，不過剩了一個，稍後再單獨乘上它。

再次兩兩分開，指數除以2： ((2*2)*(2*2))*(2*2)*2
實際上最後一個括號裡的2 * 2是這回又剩下的，那麼，稍後再單獨乘上它 現在指數已經為1了，可以計算最終結果了：16*4*2=128

優化後的演算法如下：

  1. unsigned Power(unsigned n,unsigned p)   
  2. {  
  3.    unsigned main=n; //用main儲存結果
  4.    unsigned odd=1; //odd用來計算“剩下的”乘積
  5.    while (p>1)   
  6.    {//一直計算，直到指數小於或等於1
  7.         if((p%2)!=0)  
  8.         {// 如果指數p是奇數，則說明計算後會剩一個多餘的數，那麼在這裡把它
  9. 乘到結果中  
  10.             odd*=main; //把“剩下的”乘起來
  11.         }  
  12.         main*=main; //主體乘方
  13.         p/=2; //指數除以2
  14.    }  
  15.    return main*odd; //最後把主體和“剩下的”乘起來作為結果
  16. }  

夠完美了嗎？不，還不夠！看出來了嗎？main是沒有必要的，並且我們可以有更快的程式碼來判斷奇數。要知道除法或取模運算的效率很低，所以我們可以利用偶數的一個性質來優化程式碼，那就是偶數的二進位制表示法中的最低位一定為0!

完美版：

  1. unsigned Power(unsigned n, unsigned p)   
  2. { // 計算n的p次方
  3.     unsigned odd = 1; //oddk用來計算“剩下的”乘積
  4.     while (p > 1)  
  5.     { // 一直計算到指數小於或等於1
  6.        if (( p & 1 )!=0)  
  7.       { // 判斷p是否奇數，偶數的最低位必為0
  8.              odd *= n; // 若odd為奇數，則把“剩下的”乘起來
  9.       }  
  10.       n *= n; // 主體乘方
  11.       p /= 2; // 指數除以2
  12.      }  
  13.     return n * odd; // 最後把主體和“剩下的”乘起來作為結果
  14. }  

========================================================

5."蒙格馬利”快速冪模演算法

後面我們會用到這樣一種運算：(X^Y)%Z。但問題是當X和Y很大時，只有32位的整型變數如何能夠有效的計算出結果？

考慮上面那份最終的優化程式碼和再上面提到過的積模分解公式，我想你也許會猛拍一下腦門，吸口氣說：“哦，我懂了！”。

下面的講解是給尚沒有做出這樣動作的同學們準備的：

X^Y可以看作Y個X相乘，即然有積模分解公式，那麼我們就可以把Y個X相乘再取模的過程分解開來，比如：(17^25)%29則可分解為：( ( 17 * 17 ) % 29 * ( 17 * 17 ) % 29 * ……

如果用上面的程式碼將這個過程優化，那麼我們就得到了著名的“蒙格馬利”快速冪模演算法：

  1. unsigned Montgomery(unsigned n, unsigned p, unsigned m)  
  2. { // 快速計算 (n ^ e) % m 的值，與power演算法極類似
  3.     unsigned r = n % m; // 這裡的r可不能省
  4.     unsigned k = 1;  
  5.     while (p > 1)  
  6.     {  
  7.         if ((p & 1)!=0)  
  8.         {  
  9.             k = (k * r) % m; // 直接取模
  10.         }  
  11.         r = (r * r) % m; // 同上
  12.         p /= 2;  
  13.     }  
  14.     return (r * k) % m; // 還是同上
  15. }  

上面的程式碼還可以優化。下面是蒙格馬利極速版：
  1. unsigned Montgomery(unsigned n,unsigned p,unsigned m)  
  2. { //快速計算(n^p)%m的值
  3.       unsignedk=1;  
  4.       n%=m;  
  5.      while(p!=1)  
  6.      {  
  7.          if(0!=(p&1))k=(k*n)%m;  
  8.          n=(n*n)%m;  
  9.          p>>=1;  
  10.     }  
  11.     return(n*k)%m;  
  12. }  

=====================================================

6.怎麼判斷一個數是否為素數？

1)笨蛋的作法：

  1. bool IsPrime(unsigned n)  
  2. {  
  3.     if (n<2)  
  4.     {     
  5.         //小於2的數即不是合數也不是素數
  6.         throw 0;  
  7.     }  
  8.     for (unsigned i=2;i<n;++i)  
  9.     {   
  10.         //和比它小的所有的數相除，如果都除不盡，證明素數
  11.         if (n%i==0)  
  12.         {  
  13.             //除盡了，則是合數
  14.             returnfalse;  
  15.         }  
  16.     }  
  17.     returntrue;  
  18. }  
一個數去除以比它的一半還要大的數，一定除不盡，所以還用判斷嗎？？

2)下面是小學生的做法：

  1. bool IsPrime(unsigned n)  
  2. {  
  3.     if (n<2)  
  4.     {  
  5.         //小於2的數即不是合數也不是素數
  6.         throw 0;  
  7.     }  
  8.     for(unsigned i=2;i<n/2+1;++i)  
  9.     {   
  10.         // 和比它的一半小數相除，如果都除不盡，證明素數
  11.         if ( 0 == n % i )  
  12.         {   
  13.             // 除盡了，合數
  14.             returnfalse;  

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