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將矩陣抽象為線性變換來考慮是很有必要的，這樣會有很多好處：簡化符號，簡化證明，便於理解逆矩陣等概念，對於將來研究無限維空間也是很有必要的。

1 對映

對映這個概念中學就學過,複習一下：

集合X到集合U上的對映T是定義在X上，取值在U內的一個函式：f(x) =u

記作 T : X->U 

一個簡單的對映的例子：

2 線性對映

有了之前線性空間等概念，我們直接給出線性對映的定義：

(i) X和U是相同域上的線性空間.X成為域空間，U稱為目標空間

(ii)對映T : X->U 如果是可加的( T(X+Y)= T(X)+T(Y) )

    並且是齊次的(T(kX) = kT(X)) 則稱T為線性對映

    記T在x處的值為乘積Tx.

(iii)線性對映又稱線性變換或線性運算元

線性變換的例子：

(1) f : R->R  f(x) = ax+b 線性對映f 將x軸上的每一個數對映到y軸上:

(2) X=U=R^2 ,T表示繞原點轉角為的旋轉.

3 向量的線性組合

域K上的線性空間中的向量x1,x2,...,xj 的一個線性組合是具有下列形式的向量：

k1x1 + k2x2 + ,...,+ kjxj    kj∈K;

特別的，當向量組為單位向量組e1,e2,...,ej(第j個分量是1其餘是0的向量)的時候：

任意一個向量X都可以表示為這些單位向量的線性組合：

X = x1e1 + x2e2 +,...,+xjej

4 用矩陣表示線性對映

對於一個R^n 到 R^m 的線性對映T ：u = Tx 

將x表示單位向量的線性組合：

5再議矩陣乘法

(1) mxn的矩陣T乘向量x可以理解為將這個n維列向量線性對映為一個m維列向量：

(2) 而一個mxn矩陣乘nxL 矩陣就是先進行一個線性對映再進行一個線性對映.

這叫做線性對映的複合。線性對映的複合是另一個線性對映。對映T和對映S的複合記做：T o S.

將對映表示為矩陣。則線性對映的複合就是對應的矩陣相乘.

(3) 由於複合對映的前一個對映的目標空間是另一個的域空間。所以矩陣乘法要求第一個的列數要等於第二個的行數。

個人補充：將新基矩陣T的每一行向量看做一個用原基向量（i,j,k,...）表示的一個新的軸/基，若共R行，即R維度，新的空間共R個軸，將X的每一列都看做為一組特徵向量，每一列的特徵相同都是n維的點（x11,x12,..,x1n）(x1表示第一列向量)，只是不同列的賦值不同。相乘的結果為矩陣Y，那麼Y內的某個值，即是某列特徵在某個軸上的投影大小，Y的某行向量，即是所有特徵在某軸上的投影結果，Y的列向量，即是某個特徵（原座標的一個點）在新的空間的投影/新值，R維的點（t1x1,t2x1,...,trx1）。Y矩陣表示的是，原座標中所有點，通過T座標空間的轉換，得到的新的空間點集合。

可參考文章，知乎：https://www.zhihu.com/question/21351965