對於3×3的例子，我們能夠寫出所有的公式。可以列出消去步驟，一個方程減去另一個方程的倍數達到三角矩陣的形式。對於一個大的系統，這種跟蹤消去的步驟太長了，所以我們需要更加簡潔的記錄方式。

我們現在引進矩陣符號來描述開始的系統，用矩陣乘法來描述計算步驟會更簡單。注意三種不同型別的量都出現在例子中：

NinecoefficientsThreeunknownsThreeright−handsides2u4u−2u+−+v6v7v++w2w===5−29(1)
右邊是列向量b。左邊是未知量u,v,w。另外，左邊有九個係數(其中一個碰巧是零)。自然地，我們用一個向量來表示三個未知量：
Theunk

nownisx=⎡⎣⎢uvw⎤⎦⎥Thesolutionisx=⎡⎣⎢112⎤⎦⎥
九個係數分為三行和三列，得到3×3的矩陣：
CoefficientmatrixA=⎡⎣⎢24−21−67102⎤⎦⎥
A是一個方陣，因為方程個數等於未知量的個數。如果n個方程有n個未知量，那麼我們有n×n矩陣。更一般地，可能m個方程有n個未知量。那麼A是m行n列的長方形。它將是一個m×n矩陣。

矩陣互相相加，或乘以某個常數值，每一次執行一列的時候，效果和向量完全一樣。事實上我們可以將向量看做矩陣的特殊情況；他們是隻有一列的矩陣。和向量一樣，如果兩個矩陣形狀相同時，他們才能執行加法：

AdditonA+B

⎡⎣⎢230104⎤⎦⎥+⎡⎣⎢1−31212⎤⎦⎥=⎡⎣⎢301316⎤⎦⎥
Multiplication2A⎡⎣⎢230104⎤⎦⎥=⎡⎣⎢460208⎤⎦⎥

矩陣和向量相乘

我們想用三個未知量u,v,w重寫方程，得到簡化的矩陣形式Ax=b。全寫出來就是，矩陣乘以向量等於向量：

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