基於Graham掃描線演算法的更加強大的凸包演算法——Melkman演算法
大家好，這裡是蒟蒻霞客，thewalker88
今天我來給大家講解一種OI中很少有人使用，然而在我看來比常用的Graham掃描線演算法更為強大的演算法——Mlekman演算法
為了學習這個新演算法，你需要如下前置技能：
1），會計算幾何基礎，尤其是叉積
2），掌握Graham掃描線演算法求凸包
如果你不會如上前置技能，網上各路神犇的關於此的講解很多，如果能夠先點亮這些前置技能，理解這篇部落格無疑會更加輕鬆
那麼，如果現在你們已經點亮了上述前置技能……
我們開始吧！！！
對於點集求凸包，Graham掃描線是可以在O（nlogn）的時間內完美解決的，而且很容易可以知道點集求凸包的時間複雜度下界是O（nlogn）。
但是，如果是求簡單多邊形的凸包呢？
簡單多邊形：沒有自交邊的多邊形即為簡單多邊形（凸多邊形，凹多邊形皆可）
問題：
平面上有一個簡單多邊形，沿著多邊形的邊，按照逆時針的順序給出多邊形的頂點的座標，要求你求出此多邊形的凸包。
如果你還記得對於點集的凸包我們是如何解決的的話，我們先是將點按照某種順序排序（水平序或極角序），再從某個一定在凸包上的點上的開始掃描。
但是我們注意到，對於按順序給出的簡單多邊形上的點，他們本身就帶著一個序！！！（感性理解一下）
因此，我們求簡單多邊形的凸包，只需要從某個必在凸包上的點開始用Graham掃描線計算一圈，就可以求出此多邊形的凸包了。。。。。
看起來是這樣，其實並不是
因為Graham 無法處理如下圖的簡單多邊形！
對於這個多邊形，我們從一號頂點開始掃描，從1一直到6都是沒有問題的，此時棧裡面從底到頂的頂點編號是1、2、3、4、6
此時考慮點7，我們驚訝的發現，線段46到線段67是逆時針旋轉的，這意味著點7不會造成彈棧 ，最後，我們求出的凸包將是，下圖中的紅色部分
可見，Graham對於此類多邊形求得的凸包將是一個複雜多邊形，顯然錯誤
因此，我們只能將其像處理點集一樣，先排序再搞。
然而，這樣不僅沒利用上簡單多邊形自帶的序，而且複雜度還是O（nlogn）的，很不好
因此，我現在來介紹一種由Melkman在1987年發明的，可以在O（n）的時間複雜度下求出正確的，簡單多邊形的凸包的Melkman演算法
這個演算法是基於Graham掃描線演算法的，他們的大體思路相同，但是不同之處在於，Graham使用一個棧來維護凸包，而Melkman使用一個雙頭佇列來維護凸包，每次不僅僅維護佇列頭的凸性，也維護佇列尾的凸性，因此，它得到每時每刻都包含當前考慮過的所有的點的凸包
下面我們模擬一下
對於一個n個點的多邊形，我們開一個大小為2*n的deque（即雙頭佇列），設bot為佇列尾，top為佇列頭，bot初始值為n-1，top初始值為n
我們把點1從前插入佇列，同時top++，接下來，由於佇列裡只有一個點1，我們可以直接把2從佇列頭插入和把2從佇列尾插入注意，從現在起每時每刻，佇列頭和佇列尾的點總是同一個，也就是當前凸包裡的最後考慮的點
接下來我們插入點3
我們說過，要在佇列頭和佇列尾都維護凸性，如果佇列頭不是凸的，在佇列頭彈棧（top–），如果佇列尾不是凸的，我們在佇列尾彈棧（bot++），我們寫程式的時候，在佇列頭維護一下，然後入棧，之後在佇列尾維護一下，然後入棧，所以最後，我們的佇列會是3 1 2 3或者3 2 1 3
這是頭三個點
我們現在來考慮點4，我們看，佇列頭和佇列正數第二個點所連成的直線，佇列尾和佇列倒數第二個點所連成的直線，以及剩下的凸包上的邊們，會把平面分為5個部分，看圖
如果第四個點落在區域II，說明對列頭不合法了，在佇列頭彈棧，如果在區域III，我們要在佇列尾進行維護，如果在區域I，我們要把佇列的頭和尾一起進行維護，如果在區域IV說明這個點是當前所求得的凸包內部的點，明顯對答案沒有貢獻，我們此時直接忽略這個點去看第五個點（上次用Graham跑凸包時的錯誤可被此情況排除）
那麼，如果點落在區域V呢？？？
並不會落在區域V！
因為我們是個簡單多邊形，如果在區域V有點，則必然產生自交邊，這是違背簡單多邊形的定義的。
如此進行下去，直到我們將所有的點考慮一遍，此時bot+1到top-1就是凸包上的點
時間複雜度很明顯是線性的，因為每個點最多進棧出棧一次
而且此演算法還是個線上演算法，可以隨時接收新的點，並且我最開始塞入佇列中的點不必非得在凸包上，相比之下，這個演算法比Graham妙得多
來看一下蒟蒻醜到不行的程式碼
實現細節：判斷在什麼區域時，只需要先排除IV區，接著佇列頭佇列尾分別判斷即可，無需細究究竟是什麼區域
那麼就是這樣，通過對此部落格的閱讀，您：
1），明白了求簡單多邊形凸包時Graham錯誤的原因
2），學會了目前最優的凸包演算法——Melkman演算法
3），明白了這個部落格創作者是個蒟蒻
如果您第二條收穫並沒有，建議您再仔細看看，因為我的部落格可能是最詳細的講授Melkman演算法的了
就是這樣希望您有收穫
我的QQ號是1145101354 ，歡迎大家加我來討論問題（請註明來自CSDN）
以上
（還不快誇我可愛QwQ
注：本文中貼出的程式碼與文中的程式碼實現並不是完全一樣
此程式碼是先將點1，2入隊，如果1，2，3時逆時針的，則直接入3（結束後佇列為：”3，1，2，3“），否則將1，2調換位置，然後入3（結束後佇列為：”3，2，1，3“）
然而18.03.09晚在我正在給東北的眾神犇口胡的時候，神犇Camouflager 提出，2也如同之後的點一樣前後都加入佇列，然後再慢慢彈棧，這樣對正確性沒有影響，而且程式碼似乎能好寫點，經過思考覺得神犇就是神犇，說的話挺有道理，因此本文中對演算法描述的時候採用了Camouflager的想法。這是與原論文不一樣的地方