簡介

最近公共祖先 \(lca(a,b)\) 指的是a到根的路徑和b到n的路徑的深度最大的公共點.

定理. 以 \(r\) 為根的樹上的路徑 \((a,b) = (r,a) + (r,b) - 2 * (r,fa(lca))\). (樹上差分)

求法

tarjan

離線演算法, 總時間 \(O(n+q)\). (q表示詢問次數)

//利用前向星儲存詢問
struct te{int t,pr,lca;}edge[1000050],qedge[1000050];
int head[500050],pe=1,qhead[500050],pq=1;
void adde(int f,int t){
    edge[++pe].t=t;
    edge[pe].pr=head[f];
    head[f]=pe; 
}
void addq(int f,int t){
    qedge[++pq].t=t;
    qedge[pq].pr=qhead[f];
    qhead[f]=pq;
}

//並查集
int fa[500050];
int find(int p){return p==fa[p]?p:fa[p]=find(fa[p]);}
void merge(int l,int r){fa[r]=l;}//merge r to l

//tarjan
int vi[500050];
void tar(int p){
    vi[p]=1;
    for(int i=head[p];i;i=edge[i].pr){
        if(vi[edge[i].t])continue;
        tar(edge[i].t);
        merge(p,edge[i].t);
    }
    for(int i=qhead[p];i;i=qedge[i].pr)
        if(vi[qedge[i].t])
            qedge[i].lca=qedge[i^1].lca=find(qedge[i].t);
}
 

倍增

\(O(n\log n)\)預處理, \(O(\log n)\) 查詢, \(O(n\log n)\)空間. 由於利用結合律, 可以維護一些鏈上資訊.

尤拉序+rmq

\(O(n\log n)\)預處理, \(O(1)\) 查詢, \(O(n\log n)\)空間.

int l2n[nsz*3+50];
int eul[nsz*3],cnt=0,vis[nsz],d[nsz];
int stt[nsz*3][21];
void dfs(int u,int fa){
    eul[++cnt]=u;
    if(vis[u]==0)vis[u]=cnt,d[u]=d[fa]+1;
    for(int i=hd[u],v=edge[i].t;i;i=edge[i].pr,v=edge[i].t){
        if(v==fa)continue;
        dfs(v,u);
        eul[++cnt]=u;
    }
}
int dmin(int a,int b){return d[a]<=d[b]?a:b;}
void rmq(){
    rep(i,1,cnt)stt[i][0]=eul[i];
    rep(j,1,l2n[pe]){
        rep(i,1,pe+1-(1<<j)){
            stt[i][j]=dmin(stt[i][j-1],stt[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
}
int stqu(int a,int b){
    int l=l2n[b-a+1];
    return dmin(stt[a][l],stt[b-(1<<l)+1][l]);
}
void eulinit(){
    int l=0;
    rep(i,1,n*3){
        if(i==(1<<(l+1)))++l;
        l2n[i]=l;
    }
    dfs(s,0);
    rmq();
}
int lca(int a,int b){
    int x=vis[a],y=vis[b];
    if(x>y)swap(x,y);
    return stqu(x,y);
}
 

樹鏈剖分

\(O(n)\)預處理, \(O(\log n)\) 查詢, \(O(n)\)空間. 由於利用結合律, 可以維護一些鏈上資訊.

int dep[nsz],sz[nsz],son[nsz],fa[nsz],top[nsz];
void dfs1(int p,int f){
    sz[p]=1,dep[p]=dep[f]+1,fa[p]=f;
    for(int i=hd[p],v=edge[i].t;i;i=edge[i].pr,v=edge[i].t){
        if(v==f)continue;
        dfs1(v,p);
        sz[p]+=sz[v];
        if(son[p]==0||sz[son[p]]<sz[v])son[p]=v;
    }
}
void dfs2(int p,int tv){
    top[p]=tv;
    if(son[p])dfs2(son[p],tv);
    for(int i=hd[p],v=edge[i].t;i;i=edge[i].pr,v=edge[i].t){
        if(v==fa[p]||v==son[p])continue;
        dfs2(v,v);
    }
}
int lca(int x,int y){
    while(top[x]!=top[y]){
        if(dep[top[x]]>=dep[top[y]])x=fa[top[x]];
        else y=fa[top[y]];
    }
    return dep[x]<dep[y]?x:y;
}