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概念

首先是最近公共祖先的概念(什麼是最近公共祖先？)：

在一棵沒有環的樹上，每個節點肯定有其父親節點和祖先節點，而最近公共祖先，就是兩個節點在這棵樹上深度最大的公共的祖先節點。

換句話說，就是兩個點在這棵樹上距離最近的公共祖先節點。

所以LCA主要是用來處理當兩個點僅有唯一一條確定的最短路徑時的路徑。

有人可能會問：那他本身或者其父親節點是否可以作為祖先節點呢？

答案是肯定的，很簡單，按照人的親戚觀念來說，你的父親也是你的祖先，而LCA還可以將自己視為祖先節點。

舉個例子吧，如下圖所示4和5的最近公共祖先是2，5和3的最近公共祖先是1，2和1的最近公共祖先是1。　

這就是最近公共祖先的基本概念了，那麼我們該如何去求這個最近公共祖先呢？

通常初學者都會想到最簡單粗暴的一個辦法：對於每個詢問，遍歷所有的點，時間複雜度為\(O(n*q)\) ，很明顯，n和q一般不會很小。

怎麼辦辦？

LCA其實有很多種解法，這裡介紹幾一個

Tarjan大法好！

什麼是Tarjan(離線)演算法呢？顧名思義，就是在一次遍歷中把所有詢問一次性解決，所以其時間複雜度是\(O(n+q)\)。

Tarjan演算法的優點在於相對穩定，時間複雜度也比較居中，也很容易理解。

下面詳細介紹一下Tarjan演算法的基本思路：

1. 任選一個點為根節點，從根節點開始。

2. 遍歷該點u所有子節點v，並標記這些子節點v已被訪問過。

3. 若是v還有子節點，返回2，否則下一步。

4. 合併v到u上。

5. 尋找與當前點u有詢問關係的點v。

6. 若是v已經被訪問過了，則可以確認u和v的最近公共祖先為v被合併到的父親節點a。

遍歷的話需要用到dfs來遍歷(相信來看的人都懂吧...)，至於合併，最優化的方式就是利用並查集來合併兩個節點。

• 虛擬碼

Tarjan(u)//marge和find為並查集合並函式和查詢函式
{
    for each(u,v)    //訪問所有u子節點v
    {
        Tarjan(v);        //繼續往下遍歷
        marge(u,v);    //合併v到u上
        標記v被訪問過;
    }
    for each(u,e)    //訪問所有和u有詢問關係的e
    {
        如果e被訪問過;
        u,e的最近公共祖先為find(e);
    }
}
 

個人感覺這樣還是有很多人不太理解，所以打算模擬一遍給大家看。

假設我們有一組資料 9個節點 8條邊 聯通情況如下：

1--2，1--3，2--4，2--5，3--6，5--7，5--8，7--9 即下圖所示的樹

設我們要查詢最近公共祖先的點為9--8，4--6，7--5，5--3；

設f[]陣列為並查集的父親節點陣列，初始化f[i]=i，vis[]陣列為是否訪問過的陣列，初始為0;　

下面開始模擬過程：

取1為根節點，往下搜尋發現有兩個兒子2和3；

先搜2，發現2有兩個兒子4和5，先搜尋4，發現4沒有子節點，則尋找與其有關係的點；

發現6與4有關係，但是vis[6]=0，即6還沒被搜過，所以不操作；

發現沒有和4有詢問關係的點了，返回此前一次搜尋，更新vis[4]=1；

表示4已經被搜完，更新f[4]=2，繼續搜5，發現5有兩個兒子7和8;

先搜7，發現7有一個子節點9，搜尋9，發現沒有子節點，尋找與其有關係的點；

發現8和9有關係，但是vis[8]=0,即8沒被搜到過，所以不操作；

發現沒有和9有詢問關係的點了，返回此前一次搜尋，更新vis[9]=1；

表示9已經被搜完，更新f[9]=7，發現7沒有沒被搜過的子節點了，尋找與其有關係的點；

發現5和7有關係，但是vis[5]=0，所以不操作；

發現沒有和7有關係的點了，返回此前一次搜尋，更新vis[7]=1；

表示7已經被搜完，更新f[7]=5，繼續搜8，發現8沒有子節點，則尋找與其有關係的點；

發現9與8有關係，此時vis[9]=1，則他們的最近公共祖先為find(9)=5；

(find(9)的順序為f[9]=7-->f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)

發現沒有與8有關係的點了，返回此前一次搜尋，更新vis[8]=1；

表示8已經被搜完，更新f[8]=5，發現5沒有沒搜過的子節點了，尋找與其有關係的點；

發現7和5有關係，此時vis[7]=1，所以他們的最近公共祖先為find(7)=5；

(find(7)的順序為f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)

又發現5和3有關係，但是vis[3]=0，所以不操作，此時5的子節點全部搜完了；

返回此前一次搜尋，更新vis[5]=1，表示5已經被搜完，更新f[5]=2；

發現2沒有未被搜完的子節點，尋找與其有關係的點；

又發現沒有和2有關係的點，則此前一次搜尋，更新vis[2]=1；

表示2已經被搜完，更新f[2]=1，繼續搜3，發現3有一個子節點6；

搜尋6，發現6沒有子節點，則尋找與6有關係的點，發現4和6有關係；

此時vis[4]=1，所以它們的最近公共祖先為find(4)=1;

(find(4)的順序為f[4]=2-->f[2]=2-->f[1]=1 return 1;)

發現沒有與6有關係的點了，返回此前一次搜尋，更新vis[6]=1，表示6已經被搜完了；

更新f[6]=3，發現3沒有沒被搜過的子節點了，則尋找與3有關係的點；

發現5和3有關係，此時vis[5]=1，則它們的最近公共祖先為find(5)=1；

(find(5)的順序為f[5]=2-->f[2]=1-->f[1]=1 return 1;)

發現沒有和3有關係的點了，返回此前一次搜尋，更新vis[3]=；

更新f[3]=1，發現1沒有被搜過的子節點也沒有有關係的點，此時可以退出整個dfs了。

經過這次dfs我們得出了所有的答案，有沒有覺得很神奇呢？是否對Tarjan演算法有更深層次的理解了呢？

參考博文:https://www.cnblogs.com/jvxie/p/4854719.h