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經典DFS之N皇后問題

阿新 • • 發佈：2019-01-13

N皇后問題

題目

Time Limit:1000MS Memory Limit:32768KB

  • Description

在N*N的方格棋盤放置了N個皇后，使得它們不相互攻擊（即任意2個皇后不允許處在同一排，同一列，也不允許處在與棋盤邊框成45角的斜線上。
你的任務是，對於給定的N，求出有多少種合法的放置方法。

  • Input

共有若干行，每行一個正整數N≤10，表示棋盤和皇后的數量；如果N=0，表示結束。

  • Output

共有若干行，每行一個正整數，表示對應輸入行的皇后的不同放置數量。

  • Sample Input

1
8
5
0

  • Sample Output

1
92
10

分析

本題是DFS中的經典問題，在暴力深搜的基礎上採用了回溯法，值得注意的是對資料的處理問題，因為只有10個數，實際AC的過程中只需要將10個N值對應的方案數算一遍儲存起來，避免了重複計算。
以下是問題解決的示例程式碼。

程式碼

#include <cstring>
#include <cstdio>

int num;
int a[15];

void trial(int i, int n)
{
    if(i == n){
        num++;
        return;}
    else{
        for
 
(int m=0;m<n;m++){
            int ok = 1;
            a[i] = m;
            for(int j=0;j<i;j++)
                if(a[i]==a[j]||i-a[i]==j-a[j]||i+a[i]==j+a[j])
                {
                    ok = 0;
                    break;
                }
            if(ok)
                trial(i+1,n);

        }

    }
}

int
 
 main()
{
    int N;
    while(scanf("%d",&N) == 1 && N!=0)
    {
        num = 0;
        memset(a,0,sizeof(a));
        trial(0, N);
        printf("%d\n",num);
    }
    return 0;
}

問題背景補充

八皇后問題是一個以國際象棋為背景的問題：如何能夠在 8×8 的國際象棋棋盤上放置八個皇后，使得任何一個皇后都無法直接吃掉其他的皇后？為了達到此目的，任兩個皇后都不能處於同一條橫行、縱行或斜線上。八皇后問題可以推廣為更一般的n皇后擺放問題：這時棋盤的大小變為n×n，而皇后個數也變成n。當且僅當 n = 1 或 n ≥ 4 時問題有解。
八皇后問題最早是由國際西洋棋棋手馬克斯·貝瑟爾於1848年提出。之後陸續有數學家對其進行研究，其中包括高斯和康託，並且將其推廣為更一般的n皇后擺放問題。八皇后問題的第一個解是在1850年由弗朗茲·諾克給出的。諾克也是首先將問題推廣到更一般的n皇后擺放問題的人之一。1874年，S.岡德爾提出了一個通過行列式來求解的方法，這個方法後來又被J.W.L.格萊舍加以改進。
艾茲格·迪傑斯特拉在1972年用這個問題為例來說明他所謂結構性程式設計的能力。
八皇后問題出現在1990年代初期的著名電子遊戲第七訪客中。

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