這個星期進入DP專題。

先是基本概念。。（摘抄課件，我自重= =）

動態規劃（Dynamic Programming, DP）是解決某一類問題的一種方法，是分析問題的一種途徑，而不是一種特殊演算法（如線性規劃是一種演算法）。因此，在學習動態規劃時，除了對基本概念和方法正確地理解外，應以豐富的想象力去建立模型，用創造性的技巧去求解。

動態規劃三要素：階段，狀態，決策。

動態規劃用於解決多階段決策最優化問題，但是不是所有的最優化問題都可以用動態規劃解答呢？

一般在題目中出現求最優解的問題就要考慮動態規劃了，但是否可以用還要滿足兩個條件：

¢最優子結構（最優化原理）

當前狀態是前面狀態的完美總結

¢無後效性

什麼是無後效性呢？

就是說在狀態i求解時用到狀態j而狀態j就解有用到狀態k…..狀態N,而求狀態N時有用到了狀態i

解決動態規劃問題的一般思路

(1）模型匹配法：

最先考慮的就是這個方法了。挖掘問題的本質，如果發現問題是自己熟悉的某個基本的模型，就直接套用，但要小心其中的一些小的變動，現在考題辦都是基本模型的變形套用時要小心條件，三思而後行。這些基本模型在先面的分類中將一一介紹。

(2）三要素法

仔細分析問題嘗試著確定動態規劃的三要素，不同問題的卻定方向不同：

先確定階段的問題：數塔問題，和走路問題（詳見解題報告）

先確定狀態的問題：大多數都是先確定狀態的。

先確定決策的問題：揹包問題。（詳見解題報告）

(3）尋找規律法

(4）邊界條件法

找到問題的邊界條件，然後考慮邊界條件與它的領接狀態之間的關係。這個方法也很起效。

(5）放寬約束和增加約束

這個思想是在陳啟鋒的論文裡看到的，具體內容就是給問題增加一些條件或刪除一些條件使問題變的清晰。

HDU兩道典型例題。

先是簡單的一維狀態。比如HDU 1257，導彈攔截問題。

如果把題目換成“求最多能攔截的導彈數目”，那這道題就變得顯而易見，求最長下降子序列型別DP。

很容易想到一個複雜度為n^2的方法，狀態轉移方程：

opt[i] = max{opt[j]+1, opt[i]} (0 <= j < i, aj >= ai)

很自然想到，既然求得了最長下降子序列，那是不是求出有幾組這樣的序列，輸出組數就是答案了呢？

偏偏這樣做是Wrong Answer。舉出反例：

設導彈高度為：6 1 7 3 2

根據最初的方法求得，最長下降序列為：6 3 2/1/7，也即需要3套系統。但真正的答案是6 1/7 3 2，2套就夠了！

換個思路。每個導彈都要攔截，每發射一發攔截炮彈，下一次發射高度不能超過上一發，也就是這套系統無法攔截比上一發炮彈高度更高的導彈。如此，考慮“最長上升子序列”。有點類似找父節點，最終答案就是最長上升子序列長度。（狀態轉移方程稍作改動即可）

完整程式碼

 1 /* 2 最長上升子序列(一維形式DP)
 3 opt[i]=max(opt[j])+1, opt[i]) (0<=j<i 且num[j]<=num[i]) {最長非下降序列}
 4 opt[i]=max(opt[j])+1, opt[i]) (0<=j<i 且num[j]>num[i])  {最長下降序列}
 5 該演算法複雜度為O(n^2)
 6 */
 7 #include <iostream>
 8 using namespace std;
 9 
10 int num[30005], len[30005];
11 
12 int main()
13 {
14     int m;
15     while(cin >> m)    {
16         int ans = 0;
17         for(int i = 0; i < m; i++) {
18             cin >> num[i];
19             len[i] = 1;
20         }
21         for(int i = 0; i < m; i++) {
22             for(int j = 0; j < i; j++) {
23                 if(num[i] > num[j]) {
24                     len[i] = max(len[j] + 1, len[i]);
25                     ans = max(ans, len[i]);
26                 }
27             }
28         }
29         cout << ans << endl;
30     }
31     return 0;
32 }

然後是二維狀態的。HDU 2084，數塔

這道題有個特點，從上到下分析，從下至上計算。不要被二維嚇到，對於towel[i][j]，我們用 i,j 表示當前數的座標。

從下至上計算時，我們需要將當前數加上它的下一層左右兩邊的最大數，得狀態轉移方程：

towel[i][j] = max(towel[i + 1][j], towel[i + 1][j + 1]) + towel[i][j];

那麼計算到最後，towel[0][0]就是答案。

（詳細分析過程可以參考一下其他教程）

完整程式碼

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 int towel[100][100];
 5 
 6 int main()
 7 {
 8     int t;
 9     cin >> t;
10     while(t--) {
11         int n;
12         cin >> n;
13         for(int i = 0; i < n; i++)
14             for(int j = 0; j <= i; j++)
15                 cin >> towel[i][j];
16         for(int i = n - 2; i >= 0; i--)
17             for(int j = 0; j <= i; j++)
18                 towel[i][j] = max(towel[i + 1][j], towel[i + 1][j + 1]) + towel[i][j];
19         cout << towel[0][0] << endl;
20     }
21     return 0;
22 }