一、矩陣和線性代數的關係
第一，眾所周知，線性代數的一個問題是解線性方程組。矩陣是一種用來簡化線性方程組表示的工具。
第二，矩陣可以表示一種線性對映，稱為矩陣對映，寫做T(x) = Ax，其中A是一個矩陣，x 和T(x) 是向量。所有矩陣對映都是線性對映，但線性對映不全都能表示為矩陣對映。

二、線性代數的應用
1、解複雜的線性方程組。
2、分析差分方程。例： xt=Axt−1。t時刻狀態xt由上一時刻狀態經過一個矩陣變化得到。分析x的變化過程，以及求解xt需要用到線性代數知識。
3、計算機圖形學。向量表示點，矩陣表示空間中的平移、縮放、旋轉等操作。

三、可逆矩陣
非常重要，在計算推導中非常有用。注意可逆性質只能用於方陣。方陣A可逆當且僅當A的行列式不為零。

四、行列式有什麼用
行列式是一個數！行列式用處不多，一個是判斷是否可逆，一個是計算特徵方程。行列式是一個算式，經過計算後就是個數。

五、向量空間、線性對映
這兩個概念是高於矩陣的。矩陣對映是線性對映的一種，一班的Rn空間也只是向量空間的一種。

六、秩
從線性對映的層次理解，秩是線性對映的值域空間的維數。線性變化各個空間的維數有如下關係：
dim nullT + dim rangeT = n
n是線性變化定義域的維數，其中dim rangeT和秩相等。

七、特徵向量、特徵值有什麼用
在動力系統中（基本和差分方程一樣），為了探究系統隨時間推移的變化。需要將遞推公式xt=Axt

八、特徵值、特徵向量的計算
有幾種方法計算特徵值，其中越靠前的越少見。
1、三角矩陣
所有三角矩陣，對角線元素是特徵值。這種情況最少見。
2、特徵方程
lambda是特徵值當且僅當lambda是特徵方程det(A−λI)的根。
3、實際應用中，一般很難精確求出特徵方程，可能因為特徵方程太複雜，或者特徵方程無解。因此有特徵值的估計方法， 能夠得到近似值，仍然能很好的解決實際問題。比如QR分解。

九、矩陣對角化
如果一個n維方陣有n個線性無關的特徵向量，那麼方陣可以被對角化：A=PDP−1。D是對角矩陣，對角線上是n個特徵值。P是n個特徵向量縱向排列拼成的矩陣。
矩陣對角化的意義是能夠簡化矩陣A的冪運算：Ak=PDkP−1。

十、正交
重要概念，正交投影，對於向量空間V和V的子空間U，向量x可分解為兩個相互正交的部分u和v，u屬於子空間U，u是x在U上的正交投影，u還有一個很有趣的特點，它是U空間中離x最近的點。這個性質，讓正交投影和最小二乘法有了關係，最小二乘法的計算，可以看做是求一個正交投影。

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