問題來源

來自於Euler Project的第十五個題目，題目不復雜，但是可以有很多種思路和解法。此外，我宿舍一姐們面試剛好碰到此題。題目連結

問題描述

一個 M*N 的矩陣，從矩陣的左上角到矩陣的右下角，只能向右走或者向下走，有多少種解法？

例如一個2*2的矩陣，有下面六種解法。

問題解法

假設矩陣有M行N列。

1、數學解法

使用排列組合有兩種思路。因為只能向右走或者向下走。

（1）在M+N次行走後，才能到達終點，也就是右下角，而在這M+N次行走中，有M次是向下，N次向右。所以是一個選擇問題。

對於Euler這題而言，就是C(40, 20)，在google中輸入40 choose 20，答案就出來啦。

（2）水平行走記作0，豎直行走記作1。每一種行走足跡可以作為一個0,1串，其中n個0，m個1。可以看做0000000000000（n個0）1111111111111（m個1）的重排列。

也就是

如果實在想不出公式，可以寫出前面一些特殊的然後找規律，這也是沒有辦法的辦法了，但是不一定有效。

2、遞迴解法。

遞迴，動態規劃，說白了，就是把一個問題分解成子問題，然後找出最小子問題。動態規劃還需要找出問題的求解順序。

因此，我們發現了這個問題的遞迴式：

matrix[i][j]=matrix[i-1][j] + matrix[i][j-1]

以及初始條件：matrix[i][0]=matrix[0][j]=1

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
__int64 digui(int row, int col){
        if(row == 1 || col == 1) return 1;
        else return digui(row-1, col) + digui(row, col-1);
}
int main(){
    clock_t begin = clock();
    printf("%lld\n", digui(18,18));
    clock_t end = clock();
    double cost = (double)(end - begin) / CLOCKS_PER_SEC;
    printf("%lf seconds\n", cost);
    system("pause");
}
 

比如這個程式在我的PC上跑，16*16的時候，需要3.727000秒。而17*17規模，需要13.601000秒，當問題規模到18*18時候計算時間已經到了52.803000秒了，基本到21*21是很慢很慢的了。

3、動態規劃解法

和遞迴的原理差不多，需要多注意一個問題就是計算順序的問題。這個題就按順序一行一行掃描就行了。

#include<stdio.h>
#define XMAX 21
#define YMAX 21
int main() {
  __int64 matrix[XMAX][YMAX];
  for(int i=0;i<XMAX;i++) matrix[i][0]=1;
  for(int i=0;i<YMAX;i++) matrix[0][i]=1;
  for(int i=1;i<XMAX;i++) 
    for(int j=1;j<YMAX;j++)
      matrix[i][j]=matrix[i-1][j]+matrix[i][j-1];
  printf("%lld",matrix[20][20]);
}